Тема: Оконное преобразование Фурье

По дисциплине: Цифровая обработка сигналов

Содержание

• Введение
• 1. Кратковременное преобразование Фурье
• 2. Функции оконного анализа в среде Mathcad
• Литература

Введение

Ни одна вещь не возникает и не уничтожается, но каждая составляется из смешения существующих вещей или выделяется из них.

Анаксагор. Древнегреческий философ, IV в. д. н.э.

Приятно сознавать, что в основе оконного преобразования тоже лежат древнегреческие начала анализа и синтеза.

Владимир Уткин. Уральский геофизик.

Спектральное представление периодического сигнала комплексным рядом Фурье, а равно и произвольного сигнала на интервале Т, если нас не интересует его поведение за пределами задания, соответствует выражению:

s (t) =S_n exp (jtnDw), S_n = (1/T) s (t) exp (-jtnDw).

Ряд Фурье, как правило, является приближенным и ограничивается определенным количеством членов ряда N, обеспечивающем требуемую точность обработки данных.

Сигнал временного интервала, а равно и его Фурье-преобразование, не предоставляет достаточно информации для приложений, которые требуют понимания того, как изменяется частота сигнала во времени. Фурье-преобразование ограничено стационарными сигналами, имеющими фиксированное частотное наполнение. Напротив, нестационарные сигналы требуют методов обработки, которые могут количественно оценивать изменения во времени частотного спектра сигналов, т.е. изучения частотно-временных характеристик сигналов.

Частотно-временной анализ сигналов - одна из последних разработок, которая дает инструментальные средства для изучения и обработки нестационарных сигналов во многих областях науки и техники, таких как передача данных, дефектоскопия, метеорология, биомедицина и др. Есть два основных подхода к гармоническому временному анализу. При первом сигнал разделяется на секторы времени и частотное информационное наполнение вычисляется для каждого из этих секторов отдельно. При втором подходе сигнал сначала фильтруется в различных полосах частот и затем эти полосы частот отображаются в секторы времени. Первый подход - кратковременное оконное Фурье-преобразование, второй - преобразование Wigner-Ville.

С позиций точного представления произвольных сигналов и функций, преобразование Фурье также имеет ряд недостатков, которые привели к появлению оконного преобразования Фурье и стимулировали развитие вейвлетного преобразования. Отметим основные из них:

ограниченная информативность анализа нестационарных сигналов и практически полное отсутствие возможностей анализа их особенностей (сингулярностей), т.к. в частотной области происходит "размазывание" особенностей сигналов (разрывов, ступенек, пиков и т.п.) по всему частотному диапазону спектра.

появление эффекта Гиббса на скачках функций, при усечениях сигналов и при вырезке отрезков сигналов для локального детального анализа;

гармонический характер базисных функций, определенных в интервале от - до +.

Неспособность преобразования Фурье осуществлять временную локализацию сингулярностей сигналов может быть частично устранена введением в преобразование так называемой движущейся оконной функции, имеющей компактный носитель. Использование оконной функции позволяет представлять результат преобразования в виде функции двух переменных - частоты и временного положения окна.

фурье оконное преобразование сигнал

1. Кратковременное преобразование Фурье

Общий принцип. При кратковременном (оконном) преобразовании Фурье (ОПФ) полный временной интервал сигнала, особенно при большой его длительности, разделяется на короткие подинтервалы - временные окна, и преобразование проводится последовательно для каждого подинтервала в отдельности. Тем самым осуществляется переход к частотно-временному (частотно-координатному) представлению сигналов, что в какой-то мере позволяет выделять и анализировать на временной оси особенности нестационарных сигналов и временные изменения их спектрального состава. По умолчанию предполагается, что в пределах каждого временного окна сигнал является стационарным.

Оконное преобразование выполняется в соответствии с выражением:

S (w,b_k) = s (t) w (t-b_k) exp (-jwt) dt. (1.1)

Функция w (t-b) представляет собой функцию окна сдвига преобразования по координате t, где параметром b задаются фиксированные значения сдвига. При сдвиге окон с равномерным шагом b_k = kDb. В качестве окна преобразования может использоваться как простейшее прямоугольное окно (w (t) =1 в пределах окна и 0 за его границами), так и специальные весовые окна (Бартлетта, Гаусса, Кайзера и пр.), обеспечивающие малые искажения спектра за счет нейтрализации явления Гиббса на границах оконных отрезков сигналов. При этом для каждого положения окна на временной оси сигнала вычисляется свой комплексный спектр. Эффективная ширина оконной функции, как правило, сохраняется постоянной по всему интервалу сигнала.

Пример оконного преобразования для нестационарного сигнала на большом уровне шума приведен на рис.1.1 По спектру сигнала в целом можно судить о наличии в его составе гармонических колебаний на трех частотах. Оконное преобразование не только подтверждает данное заключение, но и показывает конкретную локальность колебаний по интервалу сигнала и соотношение между амплитудами этих колебаний.

Рис.1.1.

При ширине оконной функции, равной b, частотная разрешающая способность определяется значением Dw = 2p/b. При требуемой величине частотного разрешения Dw соответственно ширина оконной функции должна быть равна b = 2p/Dw. Для оконного преобразования Фурье эти ограничения являются принципиальными. Так, для рис.1.1 при размере массива данных N = 300 и ширине оконной функции Db = 100 частотная разрешающая способность результатов преобразования уменьшается в N/Db = 3 раза по сравнению с исходными данными, и графики Sw (nDw_Sw) по координате n для наглядного сопоставления с графиком S (nDw_S) построены с шагом по частоте Dw_Sw = 3Dw_S, т.е. по точкам n = 0, 3, 6, …, N.

Частотно-временное оконное преобразование Фурье (ОПФ). Функция оконного преобразования (1.1) может быть переведена в вариант с независимыми переменными и по времени, и по частоте:

S (t,w) = s (t-t) w (t) exp (-jwt) dt. (1.2)

Координатная разрешающая способность оконного преобразования определяется шириной оконной функции и, в силу принципа неопределенности Гейзенберга, обратно пропорциональна частотной разрешающей способности. Хорошая разрешающая способность по времени подразумевает небольшое окно времени, которому соответствует плохая частотная разрешающая способность и наоборот. Оптимальным считается ОПФ с гауссовым окном, которое получило название преобразование Габора (Gabor). Пример преобразования приведен на рис.1.2 (в дискретном варианте вычислений.

Рис.1.2.

На рис.1.3 приведен пример вычисления и представления (модуль правой части главного диапазона спектра) результатов спектрограммы при дискретном задании зашумленного входного сигнала sq (n). Сигнал представляет собой сумму трех последовательных радиоимпульсов с разными частотами без пауз, с отношением сигнал/шум, близким к 1. Оконная функция w_i задана в одностороннем варианте с эффективной шириной окна b 34 и полным размером М = 5 Установленный для результатов шаг по частоте Dw = 1 несколько выше фактической разрешающей способности 2?/M = 126. Для обеспечения работы оконной функции по всему интервалу сигнала задавались начальные и конечные условия вычислений (продление на M точек обоих концов сигнала нулевыми значениями).

Рис.1.3.

Как видно из приведенных примеров, оконное преобразование позволяет выделить информативные особенности сигнала и по времени, и по частоте. Разрешающая способность локализации по координатам и по частоте определяется принципом неопределенности Гейзенберга. В силу этого принципа невозможно получить произвольно точное частотно-временное представление сигнала. На рис.1.4 приведен пример частотно-временного оконного преобразования сигнала, состоящего из 4-х непересекающихся интервалов, в каждом из которых сумма двух гармоник разной частоты. В качестве окна применена гауссова функция разной ширины. Узкое окно обеспечивает лучшее временное разрешение и четкую фиксацию границ интервалов, но широкие пики частот в пределах интервалов. Широкое окно напротив - четко отмечает частоты интервалов, но с перекрытием границ временных интервалов. При решении практических задач приходится выбирать окно для анализа всего сигнала, тогда как разные его участки могут требовать применения разных окон. Если сигнал состоит из далеко отстоящих друг от друга частотных компонент, то можно пожертвовать спектральным разрешением в пользу временного, и наоборот.

Рис.1.4.

2. Функции оконного анализа в среде Mathcad

Mathcad имеет ряд специальных функций оконного спектрального анализа в пакете Signal Processing. Они позволяют разбивать сигнал на поддиапазоны (с перекрытием или без перекрытия) и выполнять следующие операции:

cspectrum (x,n,r [,w]) - расчет кросс-спектра сигнала х;

pspectrum (x,n,r [,w]) - расчет распределения спектральной мощности сигнала;

coherence (x,y,n,r [,w]) - расчет когерентности сигналов х и у;

snr (x,y,n,r [,w]) - расчет отношения сигнал/шум для векторов х и у.

Здесь: х и у - вещественные или комплексные массивы данных (векторы), n - число поддиапазонов разбиения входного сигнала х (от 1 до N - размера массива), к - фактор перекрытия поддиапазонов (от 0 до 1), w - код окна (1 - прямоугольное, 2 - трапеция, 3 - треугольное, 4 - окно Хеннинга, 5 - окно Хемминга, 6 - окно Блекмана).

Литература

1. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. - М.: СОЛОН-Р, 2002. - 448 с.

2. Корн Г., Корн Е. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1984.