Рис. 4. Текущие относительные погрешности оценки частоты релаксационного колебания методами TR (черная кривая), BDF (синяя кривая) и RADAU5 (красная кривая) приhmax = T / 2000, TOL = 0.25•10 ? 5 и различной жесткости модели автогенератора з = 10 (а) и з = 10 4 (б).
Рис. 5. Текущие относительные погрешности оценки амплитуды релаксационного колебания методами TR (черная кривая), BDF (синяя кривая) и RADAU5 (красная кривая) приhmax = T / 2000, TOL = 0.25•10 ? 5 и различной жесткости модели автогенератора з = 10 (а) и з = 10 4 (б).
3. Оценка случайной составляющей погрешности численного анализа при отсутствии точного решения
Следует отметить, что анализ погрешности численного решения можно провести частично и в том случае, когда точное решение отсутствует. Точность можно оценить, рассчитав относительные отклонения значений параметров колебания, полученных в различные моменты времени (здесь на текущем и последующем периоде решения):
и .
В общем случае приращения погрешностей на смежных периодах должны быть меньше опционной погрешности. Однако, как показано на рис. 6 и рис. 7, зависимости дf (t) и дA(t), полученные при решении уравнения (1) теми же методами и при таких же значениях hmax и TOL, что зависимости еf (t) и еA(t) на рис. 4, б и рис. 5, б, не всегда малы. Таким образом, избыточный шум решения может быть обнаружен и без определения точных значений параметров процесса.
Рис. 6. Зависимости дf (t), полученные методами TR (черная кривая), BDF (синяя кривая) и RADAU5 (красная кривая) при hmax = T / 2000, TOL = 0.25•10 ? 5 и з = 10 4.
Рис. 7. Зависимости дA(t), полученные методами TR (черная кривая), BDF (синяя кривая) и RADAU5 (красная кривая) при hmax = T / 2000, TOL = 0.25•10 ? 5 и з = 10 4.
4. Обсуждение результатов
Оценка точности решения конкретной задачи по локальной или даже интервальной (глобальной) погрешности не дает общего представления о точности анализа моделируемого численно процесса. Зачастую для доказательства пригодности (или непригодности) метода приводится график решения одномерной или двумерной задачи [7, 9]. Отсутствие количественной оценки качества моделирования исследуемого процесса приводит к попыткам дополнения понятия «погрешность решения» понятием «достоверность решения». В настоящей работе (и в работе [1]) оценка погрешности решения проведена по параметрам исследуемого периодического процесса. Такой подход позволяет заменить огромный массив данных текущих погрешностей намного более компактным и обозримым, что позволяет в ряде случаев произвести более подробный анализ структуры погрешности, недоступный графическим методам. В рассмотренном случае у метода RADAU5 выявлена существенная составляющая погрешности, вызванная, по-видимому, несовершенством алгоритма автоматического выбора шага. Соответствующий алгоритм Гира оказался, напротив, весьма эффективным. Оценка погрешности решения по параметрам стационарного процесса позволяет обнаружить случайные составляющие погрешности, связанные с синхронизацией решения с шагом и несовершенством алгоритма выбора шага, для любой задачи с периодическим решением без определения точного решения.
Заключение
Проведенная оценка точности численного анализа релаксационного генератора дополняет известные теоретические и экспериментальные оценки свойств численных методов решения дифференциальных уравнений для осциллирующих систем, приведенные в работах [1, 10, 11]. Контроль точности методов осуществлялся не по погрешности определения переменной, а по погрешностям определения основных параметров стационарного процесса - частоты и размаха колебания. В качестве тестовой рассмотрена задача анализа автогенератора, в котором ВАХ нелинейного элемента аппроксимируется кусочно-линейной функцией, что позволяет получить точное стационарное решение и его основные параметры, необходимые для оценки погрешностей тестируемых численных методов.
Результаты тестирования численных методов, полученные в данной работе, позволяют обосновать выбор того или иного метода для получения достоверных и наиболее точных результатов моделирования автоколебательных систем с различной степенью жесткости. Кроме того, в данной работе предложен и обоснован метод оценки точности численного анализа нелинейных колебательных систем при отсутствии точного решения.
Работа выполнена при поддержке стипендии Президента Российской Федерации молодым ученым и аспирантам, осуществляющим перспективные научные исследования по приоритетным направлениям модернизации российской экономики (СП-398.2012.5).
дифференциальный радиотехнический релаксационный генератор
Литература
1. Пилипенко А. М., Бирюков В. Н. Исследование эффективности современных численных методов при анализе автоколебательных цепей // Журнал радиоэлектроники: электронный журнал, 2013.
2. Хоровиц П., Хилл У. Искусство схемотехники / пер. с англ. 7-е изд. М.: Мир. БИНОМ, 2010, 704 с.
3. Пилипенко А. М., Бирюков В. Н. Гибридные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений жестких и/или колебательных цепей // Радиотехника, 2011, № 1, с. 11-15.
4. Гужев Д. С., Калиткин Н. Н. Уравнение Бюргерса - тест для численных методов // Математическое моделирование, 1995, Т.7, №4, с. 99 - 127.
5. Бирюков В.Н., Гатько Л.Е. Точное стационарное решение уравнения автогенератора // Нелинейный мир, 2012, Т. 10, № 9, с. 613-616.
6. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Р. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990, 512 с.
7. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. М.: Мир, 1999, 685 с.
8. Калиткин Н. Н. Численные методы решения жестких систем // Математическое моделирование, 1995, Т.7, №5, c. 8 - 11.
9. Maffezzoni P., Codecasa L., D'Amore D. Time-domain simulation of nonlinear circuits through implicit Runge-Kutta methods // IEEE Transactions. Circuits and Systems, 2007, v. 54, n. 2, pp. 391 - 400.
10. Бирюков В. Н., Пилипенко А. М. Ковтун Д.Г. Оценка точности численного анализа генератора гармонических колебаний во временной области // Радиотехника, 2011, № 9, с. 104-107.
Аннотация
В работе проведено тестирование современных численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотренные методы широко применяются в программах схемотехнического и математического моделирования радиотехнических цепей и устройств. В качестве тестовой задачи выбрано дифференциальное уравнение релаксационного генератора. Впервые получены оценки точности численного моделирования релаксационного генератора во временной области. Показано, что на ошибку решения, кроме методической ошибки, существенное влияние оказывают случайные ошибки, вызванные синхронизацией ошибки численного решения с периодом колебания, с одной стороны, и изменением текущего шага решения, с другой.
Ключевые слова: численные методы, обыкновенные дифференциальные уравнения, релаксационный генератор, погрешность решения.
In the paper the modern numerical methods for solving ordinary differential equations are testing. These methods are widely applied in simulators of RF circuits. As a test problem the relaxation oscillator's differential equation with arbitrary polygonal nonlinearity was selected. An estimation of accuracy of numerical methods is received in the case of simulation of the relaxation oscillator. It is shown that the error of solution is determined by the methodological error and random errors caused by 1) an error of synchronization of the numerical solutions with the period of oscillation, 2) changes in the current step.
Keywords: numerical methods, nonlinear differential equations, relaxation oscillator, error analysis.