Материал: Обработка стрельб (96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Найдем оценки дисперсий по главным осям рассеивания:
|
ˉ |
ˉ |
2 |
α |
ˉ |
|
|
|
2 |
ˉ |
α, |
(53) |
||
|
Dξ = Dx sin |
|
|
+ Dz cos |
|
α + Kxz sin 2 |
||||||||
|
ˉ |
ˉ |
|
2 |
|
ˉ |
|
|
|
2 |
ˉ |
α. |
(54) |
|
|
Dη = Dx cos |
|
|
α + Dz sin |
|
α − Kxz sin 2 |
||||||||
Рассчитываем оценки значений средних квадратичных откло- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˉ |
ˉ |
|
нений σξ, ση и вероятных срединных отклонений Eξ, |
Eη по глав- |
|||||||||||||
ˉ |
ˉ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ным осям рассеивания: |
|
σˉ ξ = q |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Dˉ ξ |
|
|
|
(55) |
||||||
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
= |
ˉ |
|
|
|
(56) |
||||
|
|
|
|
|
D , |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ˉ |
|
q η |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ˉη |
|
|
|
(57) |
|||||
|
|
|
Eξ |
= 0, 6745σξ, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˉ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ˉ |
|
|
|
|
|
|
|
(58) |
|
|
|
|
Eη = 0, 6745ση. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˉ |
|
|
Определяем надежность получения оценок числовых характеристик. Для этого находим доверительные интервалы для дисперсий и средних квадратичных отклонений.
Относительные границы доверительных интервалов для оце-
нок дисперсий определяем по формулам r
εDξ = tβ
εDη = tβ
2 ˉ rn − 1Dξ,
2 ˉ n − 1Dη.
(59)
(60)
Величину tβ выбирают с помощью табл. П1 приложения для заданной вероятности β. При проведении лабораторной работы выбираем значение β = 0,8.
Доверительные интервалы для дисперсий по главным осям рас-
сеивания вычисляют с помощью соотношений: |
|
|
ˉ |
ˉ |
(61) |
(Iβ)Dξ = (Dξ − εDξ |
; Dξ + εDξ ), |
|
ˉ |
ˉ |
(62) |
(Iβ)Dη = (Dη − εDη ; Dη + εDη ). |
||
Границы доверительных интервалов для средних квадратичных отклонений можно получить через оценки дисперсий и их
относительных границ: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ξ = q |
|
|
, |
σ2ξ = q |
|
|
, |
|
|
|
σ1 |
Dˉ ξ − εDξ |
Dˉ ξ + εDξ |
(63) |
||||||||
|
η = q |
|
, |
σ2η = q |
|
. |
|
||||
σ1 |
Dˉ η − εDη |
Dˉ η + εDη |
(64) |
||||||||
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, доверительные интервалы для средних квадратичных отклонений по главным осям рассеивания будут следующими:
(Iβ)σξ = (σ1ξ; σ2ξ), |
(65) |
(Iβ)ση = (σ1η; σ2η). |
(66) |
В качестве примера на рис. 1 представлена графическая интерпретация полученных оценок основных числовых характеристик системы двух случайных величин X и Z. Здесь нанесены опытные точки и представлен единичный эллипс рассеивания. Задано положение центра группирования, построены главные оси эллипса. Показаны значения оценок средних квадратических отклонений σˉx, σˉz, σˉ ξ, σˉ η. Обозначены доверительные интервалы для математических ожиданий.
Рис. 1
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ПО РЕЗУЛЬТАТАМ СТРЕЛЬБ
Для определения закона распределения случайных величин X и Z воспользуемся данными результатов расчетов четвертого и пятого столбцов табл. 2. Здесь приведены значения центрированных
o |
ˉ |
o |
ˉ |
случайных величин xi = xi − Mx, zi = zi − Mz.
Разобьем область наблюдений случайной величины на разряды. При ограниченном числе опытных данных количество разрядов обычно невелико. Пусть длина разряда равна среднему квадратическому отклонению. Тогда общее число разрядов будет равно шести. Покажем границы разрядов для случайной величины X:
o |
3 |
= −3σx |
|
o |
2 = −2σx; |
1-й разряд: −o |
, −o |
||||
x |
= −2σx |
, − |
x |
1 = −σx; |
|
2-й разряд: −o |
2 |
x |
|||
x |
|
|
|
||
3-й разряд: − o1 = −σx, 0; |
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
4-й разряд: 0, x1 = σx; |
|
|
|
||
o |
|
o |
|
|
|
5-й разряд: x1 |
= σx, x2 = 2σx; |
||||
o |
|
o |
|
|
σx. |
6-й разряд: x2 |
= 2σx, x3 |
= 3 |
|||
По полученным экспериментальным данным строим гисто- |
|||||
грамму, в которой по оси абсцисс откладывают разряды, а по оси ординат число случайных точек, приходящихся на каждый разряд mi. Подобную же гистограмму строим и для координаты Z. По виду гистограмм вводим гипотезы о возможных теоретических законах распределения.
На рис. 2 построены гистограммы для рассмотренного примера. Здесь по оси абсцисс отложены значения отклонений случайных величин от их математического ожидания. По оси ординат — значения mi, приходящиеся на каждый разряд.
Анализ приведенных гистограмм показывает, что для них можно принять гипотезу о нормальном законе распределения. Принятую гипотезу о законе распределения для каждой из случайных величин необходимо проверить по критерию согласия Пирсона χ2.
В нашем случае для нормального закона распределения вероятность попадания случайной величины в каждый разряд рассчи-
тывается по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
pi = |
|
|
Φˆ |
|ui+1| − Φˆ |
|ui| |
, |
(67) |
2 |
|||||||
18 |
|
|
|
|
|
|
|
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
|
|
|
Рис. 2 |
|
|
o |
|
o |
|
где ui+1 = |
xi+1 |
, ui = |
xi |
; |
0, 6745σx |
0, 6745σx |
|||
o |
o |
|
|
|
xi+1, |
xi — граничные значения i-го разряда; |
|||
Φˆ |u| — значение приведенной функции Лапласа (см. табл. П3 приложения).
Вычисление критерия согласия χ2 для нормального закона распределения удобно вести с помощью табл. 3.
Таблица 3
№ |
|
Разряды |
|
|
|
o |
o |
o |
o |
o |
|
o |
o |
o |
o |
o |
||
п/п |
|
|
|
|
−x3 |
; −x2 |
−x2 |
; −x1 |
−x1 |
; 0 |
0; x1 |
x1 |
; x2 |
x2 |
; x3 |
|||
1 |
|
|
|
mi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
ui+1 |
= |
|
xi+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0, 6745 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ui = 0, 6745σx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Φ |ui+1| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5 |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Φ |ui| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Окончание табл. 3
№ |
|
Разряды |
o |
o |
o |
o |
o |
|
|
o |
o o |
o |
o |
|||||
п/п |
|
−x3; |
−x2 |
−x2 |
; −x1 |
−x1 |
; 0 |
0; x1 |
x1; x2 |
x2; x3 |
||||||||
6 |
pi = 2 Φˆ |
|ui+1| − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
ui |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Φˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
| |
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
npi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8 |
|
mi − npi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9 |
|
(mi − npi)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10 |
|
(mi − npi)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
npi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Величину χ2 определяем по формуле |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
χ2 = |
l |
(mi − npi)2 |
, |
|
|
|
|
(68) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 npi
где l — количество разрядов (в нашем случае l = 6); n — общее число точек;
mi — количество точек в i-м разряде;
pi — вероятность попадания в i-й разряд, рассчитанная для выбранного теоретического закона распределения.
Суммируя по разрядам значения, полученные в последней, 10-й строке табл. 3, находим значение χ2.
Определяем число степеней свободы по формуле r = l − s, где l — количество разрядов, а s — число наложенных условий (связей). Оно зависит от требований, предъявляемых к данной задаче. При обработке результатов стрельб обычно используют три условия:
1)равенство единице суммы частот;
2)совпадение теоретического и статистического математиче-
ских ожиданий; 3) совпадение теоретической и статистической дисперсий.
Следовательно, в нашем случае s =3.
Зная величины r и χ2, по табл. П2 приложения определяют искомую вероятность p и делают заключение о состоятельности гипотезы о введенном законе распределения.
20