Материал: Обработка стрельб (96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
В.П. Казаковцев, В.Д. Жилейкин
ОБРАБОТКА СТРЕЛЬБ
Методические указания к лабораторным работам
Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2009
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 311.2 ББК 22.172 К14
Рецензент В.В. Зеленцов
Казаковцев В.П., Жилейкин В.Д.
К14 Обработка стрельб: Метод. указания к лабораторным работам. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. – 27 с.: ил.
Рассмотрены особенности применения методов математической статистики для обработки результатов ограниченного числа опытных данных, полученных в процессе проведения стрельб.
Для студентов 4-го и старших курсов, обучающихся по специальности «Динамика полета и управление движением ЛА».
УДК 311.2 ББК 22.172
c МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. ОСОБЕННОСТИ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ОГРАНИЧЕННОГО ЧИСЛА ИСПЫТАНИЙ
Одним из методов определения характеристик рассеивания траекторий летательных аппаратов (ЛА) является проведение опытных стрельб [1]. Подготовка и организация стрельб, высокая стоимость самих ЛА существенно ограничивают возможность получения необходимого статистического материала достаточного объема. В связи с этим характеристики рассеивания приходится определять по ограниченному числу опытов (испытаний) и находить средние статистические значения или оценки, содержащие некоторый элемент случайности.
В дальнейшем оценки таких величин будем обозначать черточ-
кой сверху. Например, ˉ — оценка математического ожидания,
Mx
ˉ — оценка дисперсии случайной величины .
Dx X
Получаемые оценки должны по возможности иметь минимальные относительные ошибки и удовлетворять следующим требованиям.
1.Оценка должна быть состоятельной, т. е. с ростом числа испытаний приближаться (сходиться по вероятности) к своему точному значению.
2.При использовании оценки вместо точного значения не должно быть систематической ошибки в сторону завышения или занижения. Другими словами, необходимо, чтобы математическое ожидание оценки числовой характеристики равнялось точному значению данной характеристики. Такая оценка называется несмещенной.
3.Оценка должна обладать наименьшей дисперсией, т. е. быть
эффективной.
Получим математические выражения оценок числовых характеристик системы двух случайных величин.
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть в результате проведенных n испытаний системы двух случайных величин X, Z получены следующие значения (x1, z1); (x2, z2); . . . (xn, zn). Требуется найти оценки математических ожиданий Mx, Mz, дисперсий Dx, Dz и корреляционного момента Kxz, которые соответствовали бы рассмотренным выше требованиям.
В качестве оценки математического ожидания может быть взята формула для среднего арифметического. Например, для случай-
ной величины X |
n |
|
|
|
|
||
|
xi |
|
|
|
i=1 |
|
|
Mˉx = |
X |
. |
(1) |
|
|||
|
n |
|
|
Согласно закону больших чисел с ростом числа n величина
ˉ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mx сходится по вероятности к точному значению математического |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ˉ |
|
|
|
ожидания Mx. Следовательно, оценка Mx является состоятельной. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˉ |
имеет |
Выражение для математического ожидания оценки Mx |
|||||||||||
вид |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mxi |
|
|
|||
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
M Mˉx |
|
= |
X |
|
= Mx. |
(2) |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||
|
оценка математического ожидания удовлетво- |
||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряет второму требованию и является несмещенной. |
|
||||||||||
Дисперсия оценки математического ожидания случайной вели- |
|||||||||||
чины X |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˉ |
|
|
|
|
(3) |
||
|
|
D Mx = |
n |
Dx. |
|||||||
|
|
закона распределения случайной величины |
|||||||||
Для нормального |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X полученное значение дисперсии будет минимально возможным, |
|||||||||||
|
|
ˉ |
будет являться также и эффективной. |
||||||||
следовательно, оценка Mx |
|||||||||||
Заметим, что для других законов распределения формула (1) не всегда справедлива.
Аналогично может быть записана формула для оценки математического ожидания случайной величины Z:
n
zi
|
i=1 |
|
|
Mˉz = |
X |
. |
(4) |
|
|||
|
n |
|
|
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для оценки дисперсии случайной величины Х воспользуемся
зависимостью |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˉ |
2 |
|
|
|
(xi − Mx) |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
Dx = |
X |
|
. |
(5) |
n |
|
|||
|
|
|
|
Проверим соответствие формулы (5) требованию состоятельности оценки дисперсии. Выразим величину Dx через второй начальный момент. Для этого представим формулу (5) в виде
Xn
x2i
D |
= |
i=1 |
− |
Mˉ |
2. |
(6) |
|
n |
|||||||
x |
|
|
x |
|
Первое слагаемое уравнения (6) является средним арифметическим случайной величины X2, и при n опытах оно сходится по вероятности ко второму начальному моменту случайной величины α2 [x]. Второе слагаемое сходится по вероятности к Mx2. Таким образом, окончательно имеем
Dx = α2 [x] − Mx2 = Dx. |
(7) |
Следовательно, оценка дисперсии случайной величины X по формуле (5) является состоятельной. Проверим формулу (5) на требование по несмещенности оценки дисперсии. Преобразуем уравнение (6), подставив в него выражение (1):
D = |
n |
|
|
n |
|
2 |
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
2X |
|
|
= |
|
X |
|
|
X |
= |
|
X |
|
|
X |
|
|
|
|
|
||||||
x |
i=1 xi2 |
− |
i=1 xi |
|
|
i=1 xi2 |
− |
i=1 xi2 |
|
− |
|
i<j |
xixj |
|
||||||
n |
|
n |
|
|
|
n |
|
n2 |
|
|
|
n2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
xixj |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
i<j |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
= |
n − 1 |
|
|
x2 |
− |
2 |
X |
|
. |
(8) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
i=1 |
i |
|
|
|
n2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найдем математическое ожидание оценки дисперсии случайной величины X:
M [D ] = |
n − 1 |
n |
M x2 |
|
2 |
M [xixj]. |
(9) |
||
|
|
|
X |
|
− |
|
X |
|
|
x |
n2 |
i=1 |
i |
|
n2 |
i<j |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |