Материал: Обработка стрельб (96

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

чего строят статистический ряд. С этой целью весь диапазон полученных значений случайной величины X делят на несколько интервалов (или разрядов):

x1, x2; x2, x3; . . . xi, xi+1; . . . xl, xl+1,

где x1, x2; xi, xi+1; xl, xl+1 — границы первого, i-го и l-го интервалов.

Обычно число разрядов выбирают равным шести, восьми и реже десяти. Следует заметить, что выбор количества разрядов зависит от числа проведенных опытов. Чем больше опытов, тем больше разрядов.

Подсчитывают число случайных величин X, приходящихся на каждый разряд mi, и определяют частоту pi , соответствующую каждому разряду, по формуле

Отметим некоторые особенности определения числа случайных величин, приходящихся на данный разряд. Если случайная величина попадает на границу разряда, считают, что она принадлежит соседним разрядам одновременно в равных долях, т. е. по половине в каждом разряде.

Статистический ряд представляют в виде таблицы, связывающей разряды и соответствующие им частоты. Графическим представлением ряда является гистограмма. По виду гистограммы вводится гипотеза о законе распределения случайной величины.

Задача выбора теоретической кривой распределения, отражающей существенные признаки полученного статистического материала, называется выравниванием (или сглаживанием) статистического ряда. Вид теоретической кривой определяется как видом гистограммы, так и сущностью исследуемого физического процесса. Теоретический закон распределения зависит от ряда параметров, поэтому при выравнивании статистического ряда необходимо, чтобы расхождение между значениями этих параметров, полученных для статистического и теоретического законов распределения, было наименьшим.

Для выбора параметров применяется метод моментов, сущность которого заключается в том, что в качестве параметров сравнения используют важнейшие числовые характеристики (момен-

11

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ты) закона распределения, такие как математическое ожидание, дисперсия и т. д.

Очевидно, что между числовыми характеристиками, полученными в результате обработки статистического материала, и характеристиками выбранного теоретического закона распределения будут существовать некоторые различия. Для выяснения сущности этих различий (случайны они или являются существенными в связи с неправильно выбранным теоретическим законом распределения) вводятся «критерии согласия». Одним из таких критериев является критерий χ2 Пирсона.

Рассмотрим схему применения этого критерия.

Допустим, получен статистический ряд, который представлен в виде табл. 1.

где Ii — обозначение i-го разряда;

pi — частота, соответствующая i-му разряду; l — количество разрядов.

Выбрав теоретический закон распределения для полученного статистического материала, определяют вероятности попадания случайной величины в соответствие с этим законом в каждый из разрядов.

Мерой расхождения U между теоретическим и статистическим законами распределения выберем сумму квадратов отклонений (pi −pi), взятыми с некоторыми весовыми коэффициентами сi:

i=1

Для расчета коэффициентов ci Пирсоном была предложена следующая зависимость:

ci = n . (43) pi

Действительно, для большого числа опытов закон распределения величины U практически зависит только от количества разря-

12

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

дов l и не зависит от функции распределения F (x) и числа опытов n. Другими словами, закон распределения величины U при увеличении числа опытов приближается к распределению χ2.

Распределением χ2 с r степенями свободы называется распределение суммы квадратов r независимых случайных величин, каждая из которых подчинена нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной единице.

Обозначим меру расхождения U через χ2. Тогда выражение (42) с учетом (43) может быть приведено к виду

X

i=1

Введем общее число опытов n в формуле (44) под знак суммы. С учетом формулы (41) окончательно получим

χ2 = l (mi − npi)2 . (45)

X

i=1 npi

Значение критерия согласия χ2 зависит от числа степеней свободы r. В свою очередь число степеней свободы зависит от числа разрядов l и числа наложенных связей s:

Число связей определяется требованиями, предъявляемыми к совпадению тех или иных характеристик теоретического и статистического законов распределения.

Для критерия Пирсона χ2 составлены таблицы. Пользуясь этими таблицами, можно для каждого значения χ2 и числа степеней свободы r найти вероятность p того, что величина, распределенная по закону χ2, превзойдет это значение.

На практике, задаваясь теоретическим законом распределения и числом степеней свободы r, по формуле (45) рассчитывают величину χ2. Далее из таблицы П2 приложения по значениям χ2 и r определяют искомую вероятность p.

Если вероятность p мала, то гипотеза о введенном законе распределения отбрасывается как неправдоподобная. Если же найденная вероятность относительно велика, гипотезу можно считать не противоречащей опытным данным. Обычно считают, что если

13

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

p < 0,1, то необходимо искать другой закон распределения. Если p > 0,1, то данная гипотеза о введенном законе распределения не противоречит опытным данным.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПО РЕЗУЛЬТАТАМ СТРЕЛЬБ

Рассмотрим основные этапы обработки данных, полученных по результатам стрельб. Пусть произведено n выстрелов и зарегистрированы координаты n точек попадания. Выберем начало системы координат xoz таким образом, чтобы все точки попаданий оказались в первой четверти. Отметим каждую точку своим порядковым номером.

Для проведения обработки данных составим таблицу (табл. 2).

В первый столбец таблицы заносят номера опытных точек. Второй и третий столбцы предназначены для записи их координат, четвертый и пятый — для вычисления центрированных значений координат случайных величин, шестой и седьмой — для вычисления дисперсий, последний — для расчета корреляционного момента. Для контроля правильности вычислений в последней строке четвертого и пятого столбцов суммы центрированных значений должны быть равны нулю.

Заполнив таблицу, определяем оценки математических ожида-

ний координат ˉ и ˉ с помощью следующих соотношений:

Mx Mz

14