ОБ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕТОДИКЕ АНАЛИЗА ПРОЦЕССОВ МАССО- И ТЕПЛОПЕРЕНОСА
Е. Л. Панкратов, Е. А. Булаева
Аннотация
полевой гетеротранзистор нелинейный многослойный
В данной работе рассматривается аналитическая методика анализа и анализ модели формирования полевого гетеротранзистора. Данная методика позволяет проводить анализ нелинейных массо- и теплопереноса в многослойных структурах с переменными во времени параметрами без сшивки решений на границах раздела между слоями многослойных структур. Данный метод проиллюстрирован на примере анализа формирования полевого гетеротранзистора.
Ключевые слова: массо- и теплоперенос; аналитическая методика анализа; оптимизация радиоэлектронных устройств.
Abstract
In this paper we consider an analytical approach for analysis and optimization of formation of a field-effect heterotransistors. The approach gives a possibility to analyse nonlinear mass and heat transport in a multilayer structure with time-varying parameters without crosslinking of solutions on interfaces between layers of the multilayer structure. The approach has been illustrated by analysis of manufacturing of a field-effect heterotransistor.
Keywords: mass and heat transport; analytical approach for analysis; optimization of radio-electronic devices.
Введение
Развитие твердотельной электроники приводит к необходимости уменьшения размеров элементов интегральных схем. К настоящему времени разработаны несколько методов уменьшения размеров данных элементов. Одним из этих методов является выращивание тонкопленочных устройств [1-4]. Вторым методом является диффузионное или ионное легирование необходимых участков образцов или гетероструктур с дальнейшим лазерным или микроволновым отжигом примеси и/или радиационных дефектов [5-7]. Использование данных методов отжига приводит к формированию неоднородного температурного поля и, как следствия, к формированию неоднородности легируемой структуры и уменьшению размеров элементов интегральных схем. Еще одним способом изменения свойств легируемого материала является его радиационная обработка [8,9].
В данной работе рассматривается способ формирования полевого гетеротранзистора с неоднородно легированным каналом. Неоднородное легирование канала при изготовлении полевых транзисторов позволяет изменить скорость переноса носителей заряда [10] и, уменьшив длину канала, предотвратить эффект смыкания истока со стоком [11]. Для иллюстрации предлагаемого метода оптимизации легирования канала рассмотрим гетероструктуру, представленную на рис. 1.
Рис. 1. Рассматриваемая структура полевого гетеротранзистора
Будем считать, что после формирования канала один из его концов легируется с помощью диффузии или ионной имплантации с целью формирования неоднородного профиля легирования. Далее рассматривается микроволновый отжиг примеси и/или радиационных дефектов. Данный тип отжига позволяет прогревать только приповерхностную область для ограничения диффузии вглубь гетероструктуры. После завершения отжига проводится заращивание канала и формирование затвора. Основной целью данной работы является оптимизация длительности отжига с целью легирования необходимой части канала.
Методика анализа
Для достижения поставленных целей определим пространственно- временные распределения концентраций примесей. Искомые распределения найдем путем решения второго закона Фика [10,12-14]
(1)
с граничными и начальным условиями
, , , ,
, , C (x,y,z,0)=f (x,y,z). (2)
В соотношениях (1) и (2) введены следующие обозначения: C(x,y,z,t) - пространственно- временное распределение концентрации примеси, T - температура отжига, DС - коэффициент диффузии примеси. Величина коэффициента диффузии определяется свойствами материалов в слоях гетероструктуры, скорости прогрева и охлаждения гетероструктуры (в соответствии с законом Аррениуса). Зависимости коэффициента диффузии от параметров могут быть аппроксимированы следующим соотношением [9,15,16]
, (3)
где DL (x,y,z,T) - пространственная (за счет многослойности гетероструктуры) и температурная (по закону Аррениуса) зависимости коэффициента диффузии; P (x,y,z,T) - предел растворимости примеси; определяемый свойствами материала параметр ? может принимать целые значения в интервале ? ?[1,3] [15]; V (x,y, z,t) - пространственно-временное распределение концентрации радиационных вакансий; V* - равновесное распределение вакансий. Концентрационная зависимость коэффициента диффузии подробно обсуждается в [15]. Следует заметить, что в случае диффузионного легирования радиационные повреждения отсутствуют и ?1= ?2= 0. Пространственно-временные распределения концентраций радиационных дефектов определялись путем решения следующей системы уравнений [9,16]
(4)
с начальными
? (x,y,z,0)=f? (x,y,z) (5a)
и граничными условиями
, , , ,
, . (5б)
В системе уравнений (4) и условиях (5) используются следующие обозначения: ? =I,V; I (x,y,z,t) - пространственно-временное распределение концентрации междоузельных атомов; D?(x,y,z,T) - коэффициенты диффузии междоузельных атомов и вакансий; слагаемые V2(x,y,z,t) и I2(x,y,z,t) соответствуют образованию дивакансий и аналогичных комплексов междоузельных атомов; kI,V(x,y,z,T), kI,I(x,y,z,T) и kV,V(x,y,z,T) - соответственно, параметры рекомбинации точечных дефектов и образования комплексов.
Пространственно-временные распределения концентраций дивакансий ?V (x, y,z,t) и аналогичных комплексов междоузельных атомов ?I (x,y,z,t) определим с помощью следующей системы уравнений [9,16]
(6)
с граничными и начальными условиями
, , ,
, , ,
?I (x,y,z,0)=f?I (x,y,z), ?V (x,y,z,0)=f?V (x,y,z). (7)
В последних соотношениях введены следующие обозначения: D?I(x,y,z,T) и D?V(x,y,z,T) - коэффициенты диффузии комплексов точечных радиационных дефектов; kI(x,y,z,T) и kV(x,y,z,T) - параметры распада комплексов точечных дефектов.
Для определения пространственно-временных распределений точечных радиационных дефектов, следуя работам [17-19], представим коэффициенты диффузии точечных дефектов в следующем виде: D?(x,y,z,T)=D0?[1+??g?(x,y,z,T)], где D0? - средние значения коэффициентов диффузии, 0???< 1, |g?(x,y,z,T)|?1, ? =I,V. В аналогичной форме представим и параметрырекомбинации точечных дефектов и генерации их комплексов: kI,V(x,y,z,T)=k0I,V[1+?I,V gI,V(x,y,z,T)], kI,I(x,y,z, T)=k0I,I[1+?I,I gI,I(x,y,z,T)] и kV,V(x,y,z,T) = k0V,V [1+?V,V gV,V(x,y,z,T)], где k0?1,?2 - соответствующие средние значения, 0??I,V< 1, 0??I,I< 1, 0??V,V< 1, | gI,V(x,y,z,T)|?1, |gI,I(x,y,z,T)|?1, |gV,V(x, y,z,T)|?1. Введем следующие безразмерные величины: , ? = x/Lx, ? = y/Ly, ? = z/Lz, , , , . Такая замена изменяет форму записиуравнений (4) и условий (5)
(8)
, , ,
, , ,
. (9)
Решение уравнений (8) с условиями (9) будем искать, следуя [17-19], в виде степенных рядов
. (10)
Подстановка ряда (10) в уравнения (8) и условия (9) позволяет получить уравнения для исходных приближений концентраций точечных дефектов и и поправочных функций к ним и , i ?1, j ?1, k ?1. Данные уравнения и условия к ним приведены в Приложении. Их решения получены стандартным методом Фурье (см., например, [20,21]). Полученные решения приведены в Приложении.
Далее определим пространственно-временные распределения концентраций комплексов точечных радиационных дефектов. Для этого представим соответствующие коэффициентыдиффузии в следующей форме: D??(x,y,z,T)=D0??[1+ ???g??(x,y,z,T)], где D0?? - средние значения коэффициентов диффузии. Тогда уравнения (6) преобразуются к следующей форме
Будем искать решение данных уравнений в виде степенного ряда
. (11)
Подстановка ряда (11) в уравнения (6) и соответствующие им граничные и начальные условия позволяет получить уравнения для исходных приближений распределений концентраций комплексов радиационных дефектов ??0(x,y,z,t) и поправочных функций к ним ??i(x,y,z,t), i ?1, а также граничных и начальных условий к ним. Данные уравнения и условия приведены в Приложении. Решение данных уравнений получено стандартным методом Фурье [20,21] и приведено в Приложении.
Пространственно-временное распределение концентрации примеси определим аналогично пространственно-временному распределению концентрации радиационных дефектов. В рамках данной методики представим аппроксимацию коэффициента диффузии примеси в виде суммы постоянной и переменной составляющих, т.е. DL(x,y,z,T)=D0L[1+?LgL(x,y,z,T)], где D0L - среднее значение коэффициента диффузии примеси, 0??L< 1, |gL(x,y,z,T)|?1. Далее будем искать решение уравнения (1) в виде степенного ряда
.
Подстановка данного ряда в уравнение (1) и условия (2) позволяет получить уравнения для исходного приближения концентрации примеси C00(x,y,z,t), поправочных функций к ним Cij(x, y,z,t) (i ?1, j ?1), граничные и начальные условия к ним. Данные уравнения и условия к ним приведены в Приложении. Их решения получены стандартным методом Фурье (см., например, [20,21]). Решения данных уравнений приведены в Приложении.
Анализ пространственно-временных распределений концентраций примеси и радиационных дефектов проводился аналитически во втором приближении по параметрам, используемым в соответствующем ряде. Данного приближения обычно достаточно для проведения качественного анализа и получения некоторых количественных результатов. Результаты аналитических расчетов проверялись путем их сопоставления с результатами численного моделирования.
Результаты анализа
В данном разделе с помощью ранее полученных соотношений проведен анализ динамики перераспределения примеси с учетом перераспределения радиационных дефектов. Данные соотношения позволили получить пространственные распределения концентрации примеси. Типичные распределения концентрации примеси в направлении, перпендикулярном направлению канала, приведены на рис. 2. Кривая 1 данного рисунка является типичным распределением концентрации примеси вдоль канала. Из данного рисунка следует, что наличие границы раздела между слоями гетероструктуры позволяет получить более компактное и более равномерное распределение концентрации примеси в направлении, перпендикулярном данной границе. Однако в данном случае необходим выбор длительности отжига, т.к. при малых длительностях отжига примесь не достигает границы раздела между слоями гетероструктуры, а при больших длительностях отжига примесь слишком глубоко проникает в соседние слои. Определим компромиссную длительность отжига в рамках введенного ранее критерия [17-19]. В рамках данного критерия аппроксимируем реальное распределение концентрации примеси с помощью идеального прямоугольного распределения ? (x,y,z). Далее искомую длительность отжига определим из условия минимума среднеквадратической ошибки
. (12)
Зависимости оптимальной длительности отжига приведены на рис. 3. Оптимальная длительность отжига имплантированной примеси принимает меньшие значения, чем оптимальная длительность отжига примеси в случае диффузионного легирования. Причиной такой разницы является необходимость отжига радиационных дефектов.
Рис.2а. Распределения концентрации введенной диффузионно примеси в представленной на рис. 1 гетероструктуре в направлении, перпендикулярном границе раздела между подложкой и эпитаксиальными слоями. Увеличение номера кривой соответствует увеличению разницы между значениями коэффициента диффузии примеси в слоях при условии, что коэффициент диффузии примеси в легированной области больше, чем в соседней