Материал: Методика решения нест

5.6. Расчет систем по деформированному состоянию.

Особенностью решения данных задач является неприменимость принципа начальных размеров. При составлении уравнений статики в этих случаях необходимо рассматривать деформированную систему, так как в исходной равновесие невозможно.

Задача 5.25. Определить усилия, возникающие в одинаковых стальных стержнях ОВ и ОС постоянного поперечного сечения (А = 10^-3 м²), и вертикальное перемещение узла О при действии силы F = 128 кН (рис.5.25. а, б), если l = 1 м, E = 2·10⁵ МПа, α = π/18 рад.

Указание. Из условия равновесия узла О в деформированном состоянии системы для обеих схем следует: N = F /2α (l). Деформация стержней (рис. 5.25, б): Δl = l/cos α - l/cos α₀ = l·(α²/2 – α₀²/2) (2)- это выражение верно и для рис.5.25, а, если положить α₀ = 0. Далее принять во внимание закон Гука Δl = N·l /Е·А и получить выражение для определения угла α. Вычислив α, найти N (l) и Δ = α·l. Если перемещение Δ не задано, то задача решается как геометрически нелинейная.

6. Сложное сопротивление бруса

Брус испытывает сложное сопротивление, когда с его поперечном сечении действуют два и более внутренних силовых факторов. В соответствии с принципом независимости действия сил (принцип суперпозиции) полное нормальное напряжение в любой точке поперечного сечения равно алгебраической сумме

(6.1)

где J_x, J_y - осевые моменты инерции поперечного сечения относительно главных центральных осей (рис.6.2) .

Рекомендуется выражение (6.1) записывать для точки, лежащей в первой четверти опасного сечения, чтобы ее координаты x, у были положительны. Нормальная сила N вводится в формулу со своим знаком. Знаки перед вторым и третьим членами выбираются в зависимости от характера деформации - растяжение или сжатие - вызываемой в исходной точке изгибающими моментами М_х и M_y. Для отыскания точек с наибольшим напряжением следует записать уравнение нейтральной линии, положив в формуле (6.l) σ = 0 - искомые точки будут самыми удаленными от нейтральной линии и в растянутой, и в сжатой зоне сечения.

При определении касательных напряжении влиянием поперечных сил Q_x и Q_y пренебрегают, и вычисляют максимальное напряжение в точке, расположенной у поверхности бруса, учитывая лишь действие крутящего момента М_к:

(6.2)

где W_р - полярный момент сопротивления для бруса круглого или кольцевого сечения; W_к - момент сопротивления при кручении бруса некруглого сечения.

Следует обратить внимание, что в случае сложного сопротивления бруса при неучете действия поперечных сил в отсутствии крутящего момента в поперечных сечениях частицы материала в точках с максимальным растягивающим и сжимающим напряжением находятся в линейном напряженном состоянии и проверяются на прочность по условиям:

(σ_p)^max ≤ [σ_p], │(σ_с)│^max ≤ [σ_c] (6.3)

Для пластичных материалов используется только одно из условий (6.3) - для точки, где действует наибольшее по абсолютной величине напряжение.

Если при сложном сопротивлении бруса в поперечном сечении возникает крутящий момент М_к то, как правило, частица материала в опасной точке сечения испытывает плоское напряженное состояние и ее проверяют на прочность по одной из теорий прочности -чаще всего применяют обобщенную теорию О.Мора:

(6.4)

Определение перемещений в случае пространственного нагружения бруса выполняется по методу Мора путем "перемножения эпюр" соответственных внутренних силовых факторов, вычисленных для грузового и единичного состояний. При этом можно пренебречь влиянием продольных деформаций (от N) и сдвига (от Q_х, Q_у) , учитывая лишь перемещения, которые вызываются изгибом и кручением бруса.

Задача 6.1. Определить, во сколько возрастут максимальные сжимающие напряжения и на сколько изменится расстояние между точками А и В в брусе (рис.6.1), если его разрезать пополам сечением 1-1 по всей длине l. Известно: l, a, F, E.

Указание. Принять во внимание, что при разрезе бруса каждая половина его будет испытывать внецентренное сжатие, и максимальное напряжение определится по с?х>рмуле

где W₀ - момент сопротивления треугольного сечения относительно главной центральной оси, параллельной сечению 1-1. Изменение расстояния между точками А и В найти, вычислив взаимное перемещение этих точек по диагонали АВ.

Задача 6.2. Вычислить максимальные растягивающие напряжения на всех участках брусьев, изображенных на рис. 6.2, а-б. Определить полное перемещение точки приложения силы F. Известно: l, a, F, E.

Указание. Для каждого участка вычислить величину внутренних силовых факторов - ВСФ (положение главных центральных осей x_i, у_i указаны на рис.6.2) и найти (σ_p)^max по формуле (6.1). По методу Мopa определить перемещение точки приложения силы F по направлению осей x_i, у_i, z (Δ_х, Δ_у, Δ_z) , а затем подсчитать полное перемещение по формуле .

Задача 6.3. Для бруса, диаметр которого постоянен на первом участке и меняется но закону на втором участке, определить коэффициент запаса по пределу текучести. В решении использовать теорию максимальных касательных- напряжении. Известно: l, F, d, σ_Т (рис.6.3).

Задача 6.4. При заданных условиях нагружения брусьев (рис.6.4, а, б) определить, при каком значении α нормальное напряжение в брусе будет максимальным; при найденном α вычислить горизонтальное перемещение свободного конца бруса в направлении оси у. Известно: l, h, b, р, F (сила действует в плоскости zy).

Указание. Исследовать на экстремум выражение для максимального напряжения в опасном сечении бруса.

Задача 6.5. Брус квадратного сечения bxb растянули осевой силой F, после чего приварили к нему сверху брус такого же сечения. Какие остаточные напряжения возникнут в брусе после удаления нагрузки?

Указание. Остаточные напряжения находятся суммированием напряжений, возникающих при осевом растяжении бруса сечением bxb и внецентренном сжатии бруса сечением bx2b при разгрузке.

Задача 6.6. Брус растянули вдоль оси и скрутили, после чего торцы закрепили в жестких опорах. Как изменятся в нем напряжения и внутренние усилия, если закрепленный брус просверлить вдоль оси?

Указание. Учесть, что деформация бруса при расточке не меняется.

33