Материал: Методика решения нест

5.3. Учет осадки опор и монтажных зазоров при расчете стержневых систем

Особенность расчета статически неопределимых стержневых систем, в отличие от статически определимых, состоит в том, что в них при осадке опор и неточностях в изготовлении отдельных элементов возникают внутренние усилия даже при отсутствии других внешних воздействий.

Угловые и линейные перемещения в данном случае определяются методом Мора по такой формуле:

(5.2)

где Δ_ki - перемещение k-того сечения, вызванное осадкой (монтажным зазором) i-й опоры (стержня); - реакция в i - й опоре по направлению единичной нагрузки ( = 1 или = l), приложенной в сечении k в направлении искомого перемещения.

Произведение берется со знаком плюс, если реакция и осадка направлены в одну сторону. Для балки на рис.5.13, а, если принять, что = 1 в единичном состоянии действует вниз, имеем:

.

При решении статически неопределимых систем в левую часть канонических уравнений метода сил добавляются члены Δ_iΔ, вычисляемые для основной системы по формуле (5.2).

Задача 5.13. Определить, при каком соотношении осадок опор Δ₁/Δ₂ вертикальное перемещение сечения С равно нулю (рис.5.13, б, в). При найденном значении Δ₁ и Δ₂ найти угол поворота сечения Е.

Задача 5.14. Подобрать величину таким образом, чтобы масса конструкции была минимальной (рис.5.14, а, б, в) . Все стержни выполнены из стали. Известно: l, F, J, d, А, Е.

Указание. Раскрыв статическую неопределимость с помощью канонического уравнения метода сил и определив неизвестную реакцию опоры Б (силу или момент) - рис.5.14, а и взаимные усилия Х₁ в смежных сечениях В (рис.5.14, б, в), построить эпюры внутренних усилий. Далее использовать условия оптимизации конструкций: для рис.5.14, а принять М_С = - М_В; Для рис.5.14, б, в приравнять максимальные напряжения в стержнях 1 и 2.

Задача 5.15. На сколько надо опустить правую опору, чтобы балка постоянного сечения имела наименьший вес (рис.5.15). Известно: l, F, J, Е.

Указание. Решив систему канонических уравнений

найти реактивные силу и момент в опоре В, построить эпюру изгибающих моментов, использовать условие оптимизации М_С = - М_В.

Задача 5.16. Левая опора бруса постоянного сечения получает угловое перемещение θ (рис.5.16). Найти угол поворота сечения, в котором кривизна оси бруса равна нулю. Известно: l, m, J, E, θ = ml/3EJ.

Указание. Раскрыв статическую неопределимость (см. указание к задаче 5.14), найти реакцию опоры B, построить эпюру изгибающих моментов для эквивалентной системы и для нее же определить угол поворота сечения, в котором изгибающий момент равен 0.

Задача 5.17. Полагая Δ, l, Е·А заданными, установить, при каком значении силы F нормальные напряжения во всех поперечных сечениях бруса будут равны по абсолютной величине (рис.5.17,).

Указание. Раскрыв статическую неопределимость (см. задачу 5.14), найти взаимные усилия в смежных сечениях В, построить эпюру нормальных сил и приравнять абсолютные величины этих сил в растянутой и сжатой зоне бруса.

5.4. Расчет стержневых систем на действие температуры

При изменении температуры среды перемещения в статически определимых системах совершаются свободно и не возбуждают усилий. При равномерном нагреве прямолинейный стержень лишь удлиняется вдоль оси; при неравномерном нагреве стержень дополнительно к осевому удлинению искривляется (рис.5.18, а).

Для прямых стержней переменного сечения и брусьев малой кривизны температурные перемещения определяют по формуле О. Мора

(5.3)

для прямолинейных стержней постоянного сечения применяют формулу Верещагина

(5.4)

где - выражения для нормальной силы, изгибающего момента на i-ом участке единичного состояния; t_oi Δt_i - закон изменения равномерного нагрева (охлаждения) и перепада температур по высоте сечения h в пределах i-го участка; - площадь эпюры равномерного нагрева (охлаждения) и перепада температур по сечению на i-ом участке /площадь (J^f; откладывается со стороны ме­нее нагретого волокна стержня) ; A/Ci }Mci - ординаты эпюр нормаль­ной силы и изгибающего момента на I -ом участке единичного состо­яния, вычисленные под центром тяжести площади OJtai и ^а£; соответственно; сС - коэффициент линейного расширения.

Произведение внутренних усилий единичного состояния на температурные факторы грузового состояния в обеих формулах следует брать со знаком "плюс", если на i-ом участке указанные параметры вызывают растяжение - сжатие одних и тех же волокон.

В статически неопределимых системах при действии температуры, как правило, возникают дополнительные усилия. Их определяют из решения канонических уравнений метода сил, в левую часть которых добавляются члены Δ _it , вычисляемые для выбранной основной системы по формулам (5.3) или (5.4).

Задача 5.18. В заданной системе (рис.5.13, а) стержни 1 и 2 равномерно нагреваются соответ-ственно на t^° и 2·t^°; брус BС высотой h испытывает одинаковый по всей длине перепад температур: верхние волокна нагреты на 2·t^°, а нижние охлаждены на (- t^°). Определить вертикальное перемещение точки К, считая известными l, h = 0,l·l, t^°, α.

Решение.

На рис.5.13,б построены грузовые температурные эпюры:

равномерного нагрева

перепада температур (эпюры отложены со стороны сжатых волокон).

На рис.5.13, в построены единичные эпюры для стержней 1 и 2 и _х для бруса ВС, из которых следует:

"Перемножая эпюры" по формуле (5.4), получим

Знак (-) показывает, что точка К перемещается противоположно силе = 1, т.е. вверх.

Задача 5.19. Рама (рис.5.19, а) находится в условиях равномерного охлаждения ее элементов на t_о = - t^°, а неразрезная балка (рис.5.19, б) - при постоянном на всей длине перепаде температур Δt, причем верхние волокна нагреты меньше, чем нижние. Жесткость и рамы, и балки одинакова на обоих участах (E·J - const). Коэффициент линейного расширения - α. Считая известными l, E, J, α, Δt , определить, при каких значениях F и т, масса обеих систем минимальна.

Указание. Использовать каноническое уравнение метода сил , в котором коэффициенты δ₁₁ и Δ_1F определить "перемножением эпюр" изгибающих моментов для грузового и единичного состояний; температурный член уравнения Δ_1t вычислить по формуле (5.4) с учетом лишь первого слагаемого для рамы ("ряс. 5.I9, а) и только второго слагаемого для балки (рис.5.19, б) . Построить окончательную эпюру изгибающих моментов и записать условие M_В = - М_С.

Задача 5.20. Брус неравномерно нагрет по всей длине. Температура нагрева линейно возрастает от t^° на левом конце до 3·t^° в правом сечении (рис.5.20). Найти нормальное напряжение в поперечном сечении бруса и построить эпюру осевых перемещений.

Указание. Использовать каноническое уравнение в котором перемещение Δ_1t определить из формулы (5.3), учтя в ней первое слагаемое; найти реакцию опоры X₁ и нормальное напряжение в поперечном сечении бруса. Учесть, что относительная линейная деформация в произвольном сечении z (pnc.5.20) равна ε_z = α·t_z + σ/E и тогда осевое перемещение указанного сечения .

5.5. Брусья переменного сечения

Для брусьев переменного сечения формула Верещагина не применима; перемещения в статически определимых системах и в канонических уравнениях метода сил вычисляются с помощью интегралов О.Мора.

Задача 5.21. Для конического бруса, загруженного распределенной осевой нагрузкой интенсивностью q = const (рис.5.21, а), распределенным скручивающим моментом интенсивностью т/l (рис.5.21, б) и сосредоточенным моментом т, изгибающим брус в вертикальной плоскости (рис.5.21, в), определить указанные на рисунках перемещения. Известно: l, m, α, Е, G.

Указание. Записать величину диаметра d_z и геометрических характеристик (А, J_p, J_x) в произвольном сечении z, выбрать соответствующее единичное состояние и вычислить интегралы О.Мора.

Задача 5.22. Определить максимальную температуру равномерного нагрева конического бруса (Δt_max) перемещение сечения К при найденном значении Δt_max (pиc.5.22), если l = 1,3 м; а = 0,04 м; E = 2·l0⁵ МПа; α = 1,25·10^-5 1/град; [τ] = 150 МПа.

Указание. Раскрыв статическую неопределимость, определить Δt_max из условия прочности опасного сечения бруса; вычислить величину нормальной силы N и для эквивалентной системы найти линейное перемещение сеченая К с учетом повышения температуры бруса и действия продольной силы N (см. решение задачи 5.21).

Задача 5.23. Определить, на какой максимальный угол (φ_max) можно повернуть правую опору, жестко соединенную с коническим брусом (рис.5.23), чтобы максимальное напряжение, в брусе не превышало допускаемого, если l = 2,4 м; d = 0,07 м; [τ] = 100 МПа; G = 8·10⁴ МПа.

Указание. Решив каноническое уравнение метода сил где Δ_1Δ = ± φ_max, найти X₁ - момент в правой подвижной опоре, а затем из условия прочности - величину τ_max.

Задача 5.24. Брус в форме двух усеченных конусов, имеющий диаметр d посредине и диаметр 2d в опорах, загружен силой F = 9 кН. Построить эпюру изгибающих моментов и определить размер d, если l = 1 м и [σ] = 152 МПа (Рис.5.24).

Указание. Учитывая геометрическую и силовую симметрию, принять за эквивалентную систему половину бруса ОВ, загрузив ее в сечении О силой F/2 и неизвестным моментом X₁. Раскрыть статическую неопределимости и построить эпюру изгибающих моментов. В произвольном сечении z (рис.5.24) записать выражение для нормального напряжения , где и исследовав функцию (l) на экстремум, найти положение опасного сечения (z₀), а затем, из условия прочности, вычислить величину d.