Материал: Методика решения нест

Указание. См. решение задач 4.13 и 4.14.

Задача 4.17. Измеренные с помощью тензометров относительные удлинения равны ε_в = 2·10 ^-4, ε_с = 6·10 ^-4. Полагая материал брусьев - сталь (Е = 2·10 ^-5 МПа; μ = 0,25; σ_Т = 240 МПа), определить коэффициент запаса по текучести в месте расположения датчиков ("рис.4.17, а, б, в).

Указание Выделив в местах установки тензометров элементарные частицы (рис.4.13, а-в) , определим относительные деформации ε_z, ε_у, γ_уz по формулам (3.6). Далее из выражения (3.9) находим исходные напряжения σ_z, τ_уz, а по ним, используя зависимости (3.12), - главные напряжения σ₁, σ₃. Наконец, подсчитываем σ_экв и n_Т .

5. Определение перемещений и расчет статически неопределимых систем

5.1. Общие сведения

Данные разделы курса сопротивления материалов объединены в одну главу, поскольку решение статически неопределимых задач основано на составлении дополнительных к условиям равновесия уравнений перемещений либо в форме канонических уравнений метода сил, либо из рассмотрения плана деформированного состояния системы.

Как правило, перемещения вычисляются методом Мора-Верещагина. Студенты решают достаточно большое число задач на практических занятиях и при выполнении лабораторных работ. Однако из поля их зрения при определении перемещений нередко выпадают такие особенности как деформация бруса при чистом изгибе и использование зависимости: учет свойств прямой и обратной симметрии; перемещения в брусьях переменного сечения; напряжения и деформации, возникающие при нагреве стержней, неточности в их изготовлении (монтажные зазоры) или в случае осадки опор.

Задача 5.1. Тонкая стальная проволока диаметром d = 0,001 м согнута в круговое кольцо (рис.5.1, а) и в дугу окружности (pиc.5.1, б). Какова длина проволоки в обоих вариантах, если максимальное напряжение после изгиба оказалось равным 200 МПа? Е = 2·10 ⁵ МПа.

Указание. Воспользоваться выражением (5.1), записав его в виде ; вычислив ρ, найти длину окружности и дуги.

Задача 5.2. Для балок, изображенных на рис.5.2, а-в, определить радиусы кривизны на всех участках, показать характер изогнутой оси и вычислить максимальное напряжение, приняв сечение каждой балки прямоугольным (bхh = 5x12 см), т = 12 кН м, Е = 2·10 ⁵ МПа.

Указание. Построив эпюры изгибающих моментов, вычислить по формуле (5.1) радиусы кривизны на участках балок. Учесть, что поскольку на участках АВ и СD (рис.5.2, б) и АВ (рис.5.2, в) изгибающие моменты равны нулю, эти участки при деформации балки остаются прямыми (l/ρ = 0) - наклонными для рис.5.2, б и горизонтальной для рис.5.2, в. О вычислении σ_maх см. указание к предыдущей задаче.

Задача 5.3. Балки с постоянной жесткостью EJ_x и погонным весом q, частично отрываются от абсолютно жесткого основания. Считая известными силу F (рис. 5.2, а, б) и высоту шарнирных опор Δ (рис. 5.2, в), определить длину С части балки, оторвавшейся от основания. Для балок на рис.5.2, а, б установить также, насколько приподнимется сечение А.

Указание. На участке OВ балка остается прямой (l/ρ = 0) следовательно, изгибающий момент в сечении О равен нулю. Учитывая, что данное сечение еще и не поворачивается, можно для всех вариантов принять расчетную схему в виде консольной балки ОА, жестко закрепленной в указанном сечении О; при этом в сечении А (рис.5.3, б) приложены сила F/2 и неизвестный момент М_А, а в том же сечении для рис.5.3, в - неизвестная реакция R_А. Размер С (рис.5.3, а) определится из условия равенства нулю изгибающего момента в опоре О (М_О = 0); размер С и момент М_А (рис. 5.3, б) находятся из двух условий: М_О = 0, θ_А = 0 из симметрии исходной схемы на рис.5.3, б; размер С и величина М_А (pиc.5.3, в) вычисляются также из двух условий: М_О = 0, у_А = Δ.

Задача 5.4. Определить вертикальное перемещение сечения С и нарисовать характер деформированной оси бруса (рис.5.4, а, б, в). На рис.5.4, б абсолютно жесткий брус ВС весом F соединен неподвижно с деформируемыми стержнями одинаковой жесткости.

Указание. "Перемножить" эпюры изгибающих моментов для грузового и единичного состояний - учесть, что на длине бруса ВС рис. 5.4, б интегралы Мора равны нулю. При изображении оси вспомнить, что эпюра М_х строится на сжатых волокнах; принять во внимание также, что на рис.5.4, а крайние опоры перемещаются вертикально, а средняя опора В вдоль балки; на рис.5.4, б брус ВС поворачивается как жесткое целое; на рис.5.4, в левый участок не деформируется.

Задача 5.5. Установить, при каком значении угла α. полное перемещение точки В совпадает с направлением действия силы F (рис.5.5, а, б). Указание. Приравнять нулю перемещение точки В в направлении, перпендикулярном линии действия силы F.

Задача 5.6. Определить величину параметра α из условия равенства нулю вертикального перемещения сечения В (рис.5.6, а, б).

Указание. Линия действия силы F должна проходить через точку, расположенную под центром тяжести площади эпюры изгибающих моментов единичного нагружения.

5.2. Брусья и системы, нагруженные симметрично и кососимметрично

Из простых рассуждений и рассмотрения характера деформации бруса следует, что при его изгибе на оси симметрии равен нулю угол поворота при симметричной нагрузке и прогиб - при кососимметричной нагрузке ( рис.5.7, а, б); аналогичные замечания были сделаны в главе 2 относительно внутренних силовых факторов, обращающихся в нуль в сечении, расположенном на оси симметрии бруса. Учет указанных свойств позволяет в некоторых случаях существенно упростить задачу определения перемещений или раскрытия статической неопределимости.

Задача 5.7. Для заданных балок определить угол поворота (рис.5.7, в) к прогиб (рис.5.7, г) сечения В. Считать известными нагрузки, длину l и жесткость E·J = = const.

Указание. Использовать принцип независимости действия сил и учесть, что на оси симметрии для обеих балок (рис.5.7, в, г) искомые перемещения от распределенное нагрузки q и сосредоточенных сил F равны нулю.

Задача 5.8. Показать, что балки, приведенные на рис.5.8, а, б, имеют одинаковый прогиб точки В и найти его величину. Известно, l, E, J.

Указание. Для обоих вариантов прогиб точки В равен половине прогиба указанной точки от нагрузки q, равномерно распределенной по всей длине балки.

Задача 5.9. Для балки постоянной жесткости E·J (рис.5.9) получить формулу для определения прогиба и угла поворота произвольного сечения С, отстоящего от середины балки на .расстоянии z₀; т, l заданы.

Указание. Легче решить задачу; определив искомое перемещение как половину суммарного перемещения точек С и С', расположенных на одинаковом расстоянии z₀ от середины балки - в единичном состоянии в точках прикладываем силы = 1, когда находим прогибы, или = 1, когда ищем углы поворота.

Задача 5.10. Для балки постоянной жесткости установить положение сечения С, где прогиб максимален, и определить его. величину. Известно: Е, l, J, т. (Рис.5.10).

Указание. Вывести формулу _C = f(z) и исследовать полученную функцию на экстремум или найти у в сечении, где θ_C = 0.

Задача 5.11. Для статически неопределимых балок (рис.5.11, а , б, в) построить эпюры изгибающих моментов. Известно: Е, а, l, J, т.

Указание. Учитывая свойства симметрии, принять за расчетную схему балку ОВ с жесткой опорой В. Неизвестный момент М₀ (рис.5.11, а) найти из условия равенства нулю угла поворота сечения на оси симметрии (θ_О = 0) - при этом площади эпюр изгибающих моментов на участках ОС и СВ равны. Величину поперечной силы Q_О для схем на рис.5.11, б, в определить из условия равенства нулю прогиба у_О; в расчетной схеме для балки на рис.5.11, б учесть, что = т/2 и эпюра М_к переходит через нуль в сечении, отстоящем от точки О на 2l/3 (см. указание к задаче 5.6).

Задача 5.12. Для заданных неразрезных балок (рис.5.12, а-в) построить эпюры изгибающих моментов, не раскрывая статической неопределимости.

Указание. Врезать шарнир в точке О, лежащей на оси симметрии. Для рис.5.12, а эпюра в балке ОВ должна пересекать нулевую линию на расстоянии l/3 от точки O, чтобы угол поворота сечения О равнялся нулю (см. предыдущую задачу). Для рис.5.12, б, в изгибающий момент в сечении O равен нулю при кососимметричной нагрузке; следовательно, врезание шарнира не изменяет работы балки и неразрезная балка равносильна двум балкам ОВ с общей опорой O. После этого замечания построение эпюры М_к для двухопорных балок ОВ (рис.5.12, б) элементарно; для балок ОВ на рис. 5.12, в еще раз использовать прием врезания шарнира в сечении С и учесть, что в силу симметрии этого сечения балки ВС и СО нагружены половиной момента т.