Материал: Методические указания к курсовой работе по дисциплине «Специальные главы математики» для студентов направления «Машиностроение». Горбунов В.В., Костина Т.И
Рис. 3
6) Решим задачу Коши численно с помощью общепринятой процедуры решения на основе метода Рунге Кутта, воспользовавшись пакетом Maple
29
Рис. 4
7) Получим систему алгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний P(t) 0 :
0,7P1 0,333P2 3,333P3 4P4 |
0, |
|||
|
0,1P1 0,333P2 1,333P3 0, |
|
||
|
|
|||
|
0,4P1 4,666P3 0, |
|
||
|
|
|||
|
0,2P1 4P4 0, |
|
||
|
|
|||
|
P P |
P |
P 1. |
|
|
1 2 |
3 |
4 |
|
Первые четыре уравнения не являются линейно независимыми, поэтому первое из них может быть заменено условием нормировки
30
|
P1 P2 P3 P4 1, |
|
||
|
|
|
|
0, |
0,1P 0,333P 1,333P |
||||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
0,4P1 4,666P3 |
0, |
|
|
|
0,2P1 4P4 0. |
|
|
|
|
|
||
8) Решая систему в Maple, получаем:
Рис. 5
P1 0,562, |
P2 0,644P1 0,362 , |
P3 0,086P1 0,048, |
P4 0,05P1 0,028. Проверим вычисления с помощью условия нормировки:
0,562 0,362 0,048 0,028 1.
Вероятности нахождения системы в различных состояниях связаны с средними временами нахождения в состояниях и используются в задачах экономической оптимизации системы, а также задачах надежности систем.
31
ПРИЛОЖЕНИЕ № 1 О математическом пакете Maple
Maple - это среда для выполнения математических расчетов на компьютере. В отличие от языков программирования высокого уровня Фортран, Си или Паскаль, Maple может решать большое количество математических задач без всякого предварительного программирования в режиме командной строки.
Огромным преимуществом пакета является очень развитая символьная математика: решение задач может быть получено аналитически, то есть в виде формул, состоящих из математических символов. Вследствие этого Maple называют также пакетом символьной математики.
Просто научиться работать с Maple в интерактивном режиме или режиме командной строки. При загрузке программы автоматически загружается новый рабочий лист (worksheet), на котором находится приглашение для ввода команды > (prompt). В командную строку можно записать любое алгебраическое выражение, то есть выражение, состоящее из имен переменных и функций, чисел и символьных констант, соединенных алгебраическими операторами. На конце команды обязательно должен стоять символ конца команды - точка с запятой или двоеточие. В противном случае команда не будет выполняться. Если поставлена точка с запятой, то при нажатии клавиши Enter или кнопки с восклицательным знаком на инструментальной панели команда будет выполнена и результат будет выведен на экран дисплея. Если после конца команды стоит двоеточие, то результат не будет выведен на дисплей, а только сохраниться в памяти компьютера.
В Maple каждое выражение, содержащее операторы, и на конце которого стоит точка с запятой, является командой, приводящей к выполнению операторов выражения. Однако, существенное увеличение возможностей в Maple связано с использованием в командной стоке команд-процедур.
Такая команда вводится следующим способом:
>Имя_команды(аргумент, опции);
32
Например, команда solve, использующая оператор "=", предназначена для аналитического решения линейных и нелинейных уравнений, неравенств и систем. Так для решения системы уравнений
x 3y 10,
3x y 6
достаточно ввести команду
> sols:= solve( { x+3*y=10, 3*x+y=6 }, { x, y } );,
где в первых фигурных скобках указаны сами уравнения системы, а во вторых скобках перечислены неизвестные. Решению системы присвоено имя sols. В результате в переменной sols выведено решение системы:
.
Возможен и другой вариант решения системы:
>eqn1:=x+3*y=10:
>eqn2:=3*x+y=6:
>sols:=solve({eqn1,eqn2},{x,y});
.
Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, а также систем дифференциальных уравнений используется команда
> dsolve (eq, vars, options);,
где eq заданные дифференциальные уравнения, vars переменные, по отношению к которым ищется решение,
33