Таким потрясением для всей европейской математики стал второй кризис, связанный с разработкой дифференциального и интегрального исчисления, в котором используются бесконечно малые величины. Введённые в математику для обоснования методов интегрирования и дифференцирования, такие величины не получили сами по себе никакого обоснования. По этой причине они долгое время оставались без чёткого определения, что никак не устраивало математиков, считавших свою науку точной и не допускающей каких бы то ни было неопределённостей. Так, Дж. Джиорелло, отстаивая решающий вклад Ньютона и Лейбница в теоретизацию дифференциального исчисления, всё же признаёт, что язык, на котором они сформулировали его основы, ещё далёк от языка «эпсилон-дельта» Вейерштрасса, а сами эти основы потребуют позже значительного переосмысления (что и будет проделано Коши) Giorello G. The «fine structure» of mathematical revolutions: Metaphysics, legitimacy, and rigour. The case of calculus from Newton to Berkley and Maclaurin // Revolutions in mathematics. Oxford, 1992, p. 135. Но даже появление на математической сцене таких мощных фигур, как Коши, сыгравших, по выражению Дж. Джиорелло роль «охотников за приведениями», не решило сугубо философской проблемы определения статуса новых математических объектов в общей иерархии мирового бытия. Это, в свою очередь, означает, что и сам кризис оснований математики остался далёк от преодоления, несмотря на то, что темпы развития её аппарата значительно возросли (в отличие от первого кризиса, сроки решения ключевых «внутриматематических» проблем измеряются уже не столетиями, а десятилетиями). Таким образом, «онтологический лимит» античной и ренессансной мудрости исчерпал себя, и математики (быть может, сами не отдавая себе в этом отчёта) оказались перед серьёзным выбором той философии, без которой можно смотреть на мир, но нельзя его видеть. Такой философией, на наш взгляд, оказалась диалектика, принципы которой разрабатывались и много раньше, но по-настоящему востребованными стали именно теперь. Значительную роль в разрешении сложившейся ситуации сыграли, таким образом, Кант и Гегель, которые, основываясь на современных им достижениях математики, довели анализ проблемы бесконечно малых до понимания их закономерной диалектической противоречивости. К сожалению, указания на диалектическую природу кризиса, данные представителями немецкой классической философии, не нашли должного отклика в среде математиков XIX столетия (за исключением, быть может, А. де Моргана и Б. Больцано). Пусть значимые, но всё-таки фрагментарные победы, одержанные математическим анализом, не стали гарантами его непогрешимости (так, например, открытым остался вопрос о том, почему бесконечные величины не могут являться корнями алгебраических уравнений). На этом фоне вовсе не удивительно, что через относительно непродолжительное время разразился третий кризис оснований математики, связанный с обнаружением парадоксов в теории множеств Г. Кантора. Философскому анализу данной проблемы посвящено достаточно большое количество зарубежных и отечественных источников, поэтому мы не будем подробно останавливаться на содержании данного кризиса, попытках его преодоления и т.п. Отметим лишь, что он, как и предыдущий, является следствием всё увеличивающегося разрыва между математикой и онтологией, что с учётом увеличения темпов роста достижений первой свидетельствует о значительных проблемах во второй.
Рассуждая подобным образом, мы приходим к выводу о том, что наступление следующего, четвёртого кризиса - не такая уж отдалённая перспектива. Отчасти это подтверждается самыми последними философскими исследованиями отдельных областей математики. Так, А.С. Нариньяни напрямую заявляет о кризисном состоянии современной вычислительной математики: «Вычислительная математика пока решает те задачи, которые может, а отнюдь не те, решение которых от неё требуется… Очевидно, что в данном случае требуется радикальное изменение самой базовой концепции вычислительной математики» Нариньяни А.С. Математика XXI - радикальная смена парадигмы. Модель, а не Алгоритм // Вопросы философии, № 11, 2011, с. 72. При этом автор убедительно показывает, что суть данной проблемы заключается в преобладании в структуре «математики расчетов» алгоритмической концепции, отвечающей на вопрос «как» в ущерб методологии моделирования, отвечающей на вопрос «что». «Разрывы», речь о которых шла выше, могут оказаться ещё более грандиозными, если не принять во внимание тот факт, что онтология XXI века сама переживает кризисное состояние и нуждается в обретении единых концептуальных оснований, методологии, языка и т.д.
Итак, в настоящей работе мы попытались наметить контуры проблемного поля онтологии математики. Подходя с критической точки зрения к метафизической традиции раздвоения действительности на явленный и сверхчувственный миры, мы пришли к выводу о том, что в основании бытия математического объекта лежит изоморфизм категориальных структур мышления и онтологически обусловленной человеческой деятельности. В своем развитии математика переживает кризисные состояния, имеющие выраженную онтологическую природу, поскольку их сутью является прежде всего неспособность описывать объекты, факт бытия или становления которых выходит за рамки привычных на данный момент представлений о мире. Выход из таких состояний необходимо искать не столько в совершенствовании методов самой математики, сколько в обновлении и расширении когнитивных средств онтологии.
Список литературы
1. Багдасарьян, Н.Г. История, философия и методология науки и техники: Учебник и практикум для бакалавриата и магистратуры / Н.Г. Багдасарьян, В.Г. Горохов, А.П. Назаретян. - Люберцы: Юрайт, 2016. - 383 c.
2. Бартенев, С.А. История и философия экономической науки: пособие к кандидатскому экзамену / С.А. Бартенев. - М.: Магистр, 2011. - 271 c.
3. Батурин, В.К. Философия науки: Учебное пособие / В.К. Батурин. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2013. - 303 c.
4. Батурин, В.К. Философия науки: Учебное пособие / В.К. Батурин. - М.: ЮНИТИ, 2013. - 303 c.
5. Батурин, В.К. Философия науки: Учебное пособие. / В.К. Батурин. - М.: ЮНИТИ, 2015. - 303 c.
6. Бельская, Е.Ю. История и философия науки (философия науки): Учебное пособие / Е.Ю. Бельская, Н.П. Волкова. - М.: Изд. МАИ, 2014. - 224 c.
7. Бельская, Е.Ю. История и философия науки (Философия науки): Учебное пособие / Е.Ю. Бельская, Н.П. Волкова, М.А. Иванов; Под ред. Ю.В. Крянева, Л.Е. Моторина. - М.: Альфа-М, ИНФРА-М, 2012. - 416 c.
8. Бессонов, Б.Н. История и философия науки: Учебное пособие для магистров / Б.Н. Бессонов. - М.: Юрайт, ИД Юрайт, 2012. - 394 c.
9. Бессонов, Б.Н. История и философия науки: Учебное пособие для магистров / Б.Н. Бессонов. - Люберцы: Юрайт, 2016. - 394 c.
10. Борзенков, В.Г. История и философия науки. В 4 кн. Кн. 1: Общие вопросы / В.Г. Борзенков. - М.: Изд. Моск.университета, 2009. - 264 c.
11. Борзенков, В.Г. История и философия науки. В 4-х т.Т. 1. История и философия науки. В 4-х книгах. Книга I: Общие вопросы: Учебное пособие / В.Г. Борзенков. - М.: МГУ, 2012. - 264 c.
12. Борзенков, В.Г. История и философия науки. В 4 кн. Кн. 1: Общие вопросы / В.Г. Борзенков. - М.: Изд. Моск.университета, 2012. - 264 c.
13. Борзенков, В.Г. Философия науки. На пути к единству науки / В.Г. Борзенков. - М.: КДУ, 2008. - 320 c.
14. Борзенков, В.Г. Философия науки. На пути к единству науки: Учебное пособие / В.Г. Борзенков. - М.: КДУ , 2008. - 320 c.
15. Булдаков, С.К. История и философия науки: Учебное пособие для аспирантов и соискателей ученой степени кандидата наук / С.К. Булдаков. - М.: ИЦ РИОР, 2013. - 141 c.