Материал: Математические методы и модели в разработке и принятии управленческих решений. методические указания. Амелин С.В

носится, например, станочный участок, в котором ставки являются источником неисправностей, а, следовательно, и требований на их обслуживание.

Показатели эффективности систем массового обслуживания делятся на показатели, характеризующие качество и условия работы обслуживающей системы, и показатели, отражающие экономические особенности системы.

Показатели первой группы обычно формируют на основе полученных из расчетов значений вероятностей состояний системы. Показатели второй группы рассчитывают на основе показателей первой группы.

Среди показателей первой группы можно выделить следующие:

1) Вероятность того, что поступающее в систему требование откажется присоединяться к очереди и теряется (Ротк). Этот показатель для системы массового обслуживания с отказами равен вероятности того, что в системе находится столько требований, сколько она содержит приборов (каналов) обслуживания:

где n - число каналов обслуживания.

Для системы с ограниченной длиной очереди Ротк равна вероятности того, что в системе находится n + l требований:

где l - допустимая длина очереди.

Противоположным показателем является вероятность обслуживания требования

2) Среднее количество требований, ожидающих начала обслуживания,

n+l

Мож = ∑( m − n )Pn , (4)

m=n+1

где Рm - вероятность того, что в системе находится m требований.

При условии простейшего потока требований и экспоненциального закона распределения времени обслуживания формулы для Мож принимают следующий вид:

система с ограниченной длиной очереди

где α=λ/ν, λ - интенсивность входящего потока требований (среднее число требований, поступающих в единицу времени), ν - интенсивность обслужи-

6

вания (среднее число обслуженных требований в единицу времени); система с ожиданием

3) Относительная (q) и абсолютная, (А) пропускные способности системы. Эти величины находят соответственно по формулам

4) Среднее число занятых обслуживанием приборов в случае экспоненциального характера потока требований и времени обслуживания

для системы массового обслуживания с отказами nз можно найти по формуле

n

n3 = ∑mPm . (9)

m=1

5) Общее количество требований, находящихся в системе (М). Эту величину определяют следующим образом:

система массового обслуживания с отказами

система массового обслуживания с ограниченной длиной очереди и ожиданием

6) Среднее время ожидания требованием начала обслуживания (Тож). Если известна функция распределения вероятностей времени ожидания требованием начала обслуживания

то среднее время ожидания находится как математическое ожидание случайной величины Тож:

Тож при показательном законе распределения требований во входящем потоке можно определить по формуле

7

Показатели, характеризующие экономические особенности, формируют обычно в соответствии с конкретным видом системы и её назначением. Одним из общих экономических показателей является экономическая эффективность

где qож - стоимость потерь, связанных с простоем требований в очереди в единицу времени.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2 МОДЕЛИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Модель транспортного типа с промежуточными пунктами многопродуктовая модель транспортного типа

Экономико-математические модели распределительных задач являются математическим описанием процессов распределения, возникающих в случаях когда: а) существует ряд операций, которые необходимо выполнить, и ряд различных путей их выполнения; б) нет в наличии ресурсов или средств, обеспечивающих выполнение каждой из этих операций наиболее рациональным образом.

В таком случае задача заключается в выборе такого распределения ресурсов по операциям, при котором достигается максимальная общая эффективность. Для таких задач характерны следующие условия:

1)существует ряд операций, которые должны быть выполнены;

2)имеется достаточное количество ресурсов для выполнения всех операций;

8

3) некоторые операции можно выполнять различными способами, а, следовательно, используя различные количества и комбинации ресурсов;

4)некоторые способы выполнения операций лучше других (например, менее дороги или более прибыльны);

5)имеющиеся в наличии количество ресурсов недостаточно для выполнения каждой операции оптимальным способом.

Простейшими задачами этого типа являются задачи назначения, в которых для выполнения каждой операции требуется только один вид ресурса, причём число операций и число различных ресурсов совпадают. Задачи назначения сводятся к выбору (назначению) одного ресурса для выполнения каждой операции.

Каждой комбинации операций и ресурсов соответствуют определённые затраты и прибыль. Задача сводится к такому распределению ресурсов, чтобы общая стоимость выполнения операций была минимальна или прибыль максимальна.

Задачи этого типа усложняются, если для выполнения некоторых операций требуется более одного вида ресурсов, или если ресурсы одного и того же вида могут быть использованы для выполнения более одной операции. Тогда задача связана с правильным распределением ресурсов и операций. Примером задач этого типа являются транспортные задачи.

Задачи другого типа возникают тогда, когда наличных ресурсов не хватает для выполнения всех возможных операций. Поэтому необходимо выбрать ряд операций, которые должны выполняться, а также определить, каким способом их выполнить.

К этому типу относятся задачи выбора ассортимента выпускаемой продукции, большинство задач финансирования и т.д.

Задачи распределения третьего типа возникают тогда, когда имеется возможность регулировать количество ресурсов, а, следовательно, определять, какие ресурсы необходимо добавить и от каких ресурсов и где именно целесообразно отказаться.

К этому типу относятся задачи размещения нового производства, создания баз для управления запасами, расширения и реконструкции производственных линий и т.д.

Постановка общей распределительной задачи ЛП Общая распределительная задача ЛП – это РЗЛП, в которой работы и ре-

сурсы (исполнители) выражаются в различных единицах измерения. Типичным примером такой задачи является организация выпуска разнородной продукции на оборудовании различных типов. В распределительных задачах линейного программирования используются двухиндексные переменные.

Этапы построения модели

1.Определение переменных.

2.Построение распределительной матрицы.

3.Задание целевой функции (ЦФ).

4.Задание системы ограничений.

9