Материал: m33751_9

Тема 9. Нормальный закон распределения

Нормальным называется распределение непрерывной случайной величины X функция плотности распределения которой имеет вид

,

где a – математическое ожидание, а  – среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

Вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу , определяется по формуле

.

где – функция Лапласа, равная

.

Таблица значений функции Лапласа приводится в приложении 2.

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина X отклонится по модулю от своего математического ожидания а на величину, меньшую положительного числа  определяется по формуле

.

В частности, . Это свойство известно под названием правила «трех сигм».

Свойства функции Лапласа

Свойство 1. Функция Лапласа – нечетная функция, т.е. .

Свойство 2. Функция Лапласа – монотонная возрастающая ограниченная функция на всей области определения

.

Свойство 3. Верно следующее предельное равенство

причем, при можно считать, что .

Вопросы для самопроверки

1. Запишите дифференциальную функцию для нормального закона распределения непрерывной случайной величины.

2. Какой вид имеет нормальная кривая? Поясните геометрический смысл параметров a и  нормального распределения.

3. Как найти математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной случайной величины?

4. Как определяется вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал .

5. Как определяется вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины по модулю от своего математического ожидания .

6. Сформулируйте правило «трех сигм».

Задание 13. В задачах 13.1–13.30 станок-автомат на поточной линии разливает фруктовый сок в пакеты объемом а мл с точностью .

Считая что случайные ошибки при разливе подчинены нормальному закону, найти вероятность того, что в наугад взятом пакете окажется не более  и не менее  мл сока. Каков процент пакетов с ошибкой разлива не более  мл? Каков гарантированный минимум и возможный максимум объема сока в пакете? Построить график функции распределения и проиллюстрировать полученное решение графически.

Решение типовых примеров

Пример 9.1. Известно, что контролируемый размер деталей, выпускаемых цехом, распределен по нормальному закону. Величина стандартного размера детали (математическое ожидание) равна 39 мм, среднее квадратическое отклонение размера равно 4 мм.

Требуется найти вероятность того, что размер наудачу взятой детали будет больше 34 мм, но меньше 43 мм. Каков процент деталей с отклонением от стандартного размера не более чем на 2 мм? Каков гарантированный минимум и возможный максимум размера выпускаемых цехом деталей. Построить график функции распределения и проиллюстрировать полученное решение графически.

Решение.

Для нормально распределенной случайной величины вероятность попадания в интервал определяется с помощью функции Лапласа

,

где — математическое ожидание, а — среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

По условиям задачи a = 39, σ = 4,  = 34,  = 43 мм. В таком случае

.

Вероятность того, что размер конкретной детали отклониться от стандартного размера не более чем на  мм, может быть определена как

.

В нашем случае  = 2 мм, следовательно

.

Рис. 9.1. График функции плотности вероятности нормально распределенной случайной величины X. Пример 9.1

При определении гарантированного минимума и возможного максимума размеров выпускаемых деталей воспользуемся правилом «трех сигм». Известно, что для нормально распределенной случайной величины . В таком случае гарантированный минимум и возможный максимум размеров выпускаемых цехом деталей будут определяться

мм ; мм.

Построение графика функции плотности вероятности нормально распределенной случайной величины X и геометрическая интерпретация полученных результатов показаны на рис. 9.1.

Тема 10. Равномерное и показательное распределения

Равномерным на промежутке называется распределение непрерывной случайной величины X функция плотности вероятностей которой имеет вид

Интегральная функция равномерного распределения записывается

Математическое ожидание , дисперсия и среднее квадратическое отклонение равномерно распределенной случайной величины вычисляются по формулам

; ; .

Вероятность попадания в интервал для равномерно распределенной случайной величины X определяется из общих соображений

.

Показательным (экспоненциальным) называют распределение непрерывной случайной величины X функция плотности вероятностей которой имеет вид

где – параметр показательного распределения.

Интегральная функция показательного распределения записывается

Математическое ожидание , дисперсия и среднее квадратическое отклонение показательно распределенной случайной величины вычисляются по формулам

; ; .

Вероятность попадания в интервал , где и для показательно распределенной случайной величины X определяется

.

Вопросы для самопроверки

1. Как записывается равномерный на промежутке закон распределения?

2. Какой вид имеют графики функций и для распределения, равномерного на промежутке ?

3. Как найти числовые характеристики распределения, равномерного на промежутке ?

4. Как записывается показательный закон распределения?

5. Какой вид имеют графики функций и для показательного распределения?

6. Как найти числовые характеристики показательного распределения?

7. Как определяется вероятность попадания в интервал для показательно распределенной случайной величины?

Задание 14. В задачах 14.1–14.30 заданы параметры случайной величины X имеющей: а) равномерное распределение на интервале ; б) показательное распределение с параметром .

Требуется: а) найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X; б) определить вероятность попадания значения X в заданный интервал ; в) построить графики функций распределения и .