e 1x ,xe 1x ,x2e 1x ,...,xne 1x , e 2x,xe 2x,x2e 2x,...,xne 2x
………………
e nx,xe nx,x2e nx,...,xne nx
линейно независимы.
Определение: Множество n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения порядка n называется фундаментальной системой решений этого уравнения.
Теорема (о существовании фундаментальной системы решений)
Если функции |
p0 x , p1 x ,..., pn 1 x непрерывны |
на некотором интервале a;b , то на этом |
|||
интервале |
существует |
фундаментальная |
система |
решений |
уравнения |
y n pn 1 x y n 1 ... p1 x y' p0 x y 0
Без доказательства.
Теорема (об общем решении линейного однородного уравнения)
Если y1 x ,y2 x ,...yn x фундаментальная система решений линейного |
однородного |
уравнения, тогда функция y x C1y1 x C2 y2 x ... Cn yn x , где |
C1,C2,...,Cn - |
произвольные постоянные, является общим решением линейного однородного уравнения.
Без доказательства.
Теорема (об общем решении линейного неоднородного уравнения) Пусть |
y0 x - общее |
||||||||||||||||||||||||||||||
решение однородного уравнения |
y n p |
n 1 |
x y n 1 |
|
... p x y' p |
0 |
x y 0, а |
y x - какое- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|||
либо решение неоднородного уравнения |
y n p |
n 1 |
x y n 1 ... p x y' p |
0 |
x y f x , тогда |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
функция y0 x y1 x является общим решением неоднородного уравнения. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Доказательство: |
|
|
|
подставим |
|
|
функцию |
|
y0 x y1 x |
|
в |
выражение |
|||||||||||||||||||
y n p |
n 1 |
x y n 1 ... p |
x y' p |
0 |
x y: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
0 |
y |
1 |
n p |
n 1 |
x y |
0 |
y |
1 |
n 1 ... p x y |
0 |
y ' p |
0 |
x y |
0 |
y |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y0n |
pn 1 x y0n 1 ... p1 x y0' |
p0 x y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
y1n |
pn 1 x y1n 1 |
... p1 x y1' |
p0 x y1 0 f (x) f (x). Теорема доказана. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
6