Материал: Лекция №9 2-я редакция

9. Лекция №9

9.1. Линейные и нелинейные уравнения установившегося режима

Основными параметрами рассмотренных выше пассивных элементов электрических цепей являются сопротивление r, индуктивность L и емкость С. Можно считать параметры пассивных элементов цепи не зависящими от тока и напряжения. В этих случаях характеристики элементов электрической цепи (зависимости напряжения от тока в сопротивлении r, заряда от напряжения на конденсаторе с емкостью С, потокосцепления от тока катушки с индуктивностью L) являются прямыми линиями. Такие элементы цепи называются линейными. В линейных элементах сопротивление r, емкость С и индуктивность L постоянны. Установившиеся режимы цепей, содержащих только линейные пассивные элементы и постоянные, не изменяющиеся по модулю и фазе источники тока, описываются линейными уравнениями установившегося режима. Такие цепи называются линейными электрическими цепями. Этот случай соответствует расчету установившихся режимов электрических систем при задании, постоянных по модулю и фазе токов нагрузки потребителей и генераторов во всех узлах электрической системы.

Если параметры пассивных элементов электрической цепи существенно зависят от тока или напряжения, то есть характеристики этих элементов нелинейны, то и сами такие элементы называются нелинейными.

В расчетах установившихся режимов электрических систем нелинейность пассивных элементов не учитывается. В этом смысле продольная часть схемы замещения всегда линейна. В то же время при расчетах установившихся режимов электрических систем учитываются нелинейные характеристики источников тока. Нелинейность источников тока соответствует заданию в узлах нагрузки потребителей или генераторов с постоянной мощностью либо заданию нагрузки ее статическими характеристиками, определяющими зависимость мощности от напряжения. Установившиеся режимы электрических систем с нелинейными источниками тока описываются нелинейными уравнениями установившегося режима.

9.2. Уравнения узловых напряжений при напряжении ба­лансирующего узла

Установившимся режимом электрической цепи при постоянных источниках тока и напряжения называют такое состояние, при котором ток в любой ветви и напряжение в любом узле остаются неизменными в течение сколь угодно длительного времени [3].

Будем рассматривать наиболее часто встречающийся и наиболее простой случай. Известны параметры всех пассивных элементов электрической цепи, заданы постоянные значения источников тока во всех узлах, кроме одного - балансирующего, и все ЭДС, а также напряжение одного узла - базисного. Надо определить напряжения n узлов и токи в m ветвях.

В общем случае базисный и балансирующий узлы могут не совпадать. Как правило, при расчетах режимов электрических систем предполагают, что эти узлы совпадают. В дальнейшем для простоты изложения будем считать, что базисным и балансирующим является один и тот же узел (n + 1), который для краткости будем называть балансирующим.

Число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа равно числу независимых узлов n. Уравнение первого закона Кирхгофа для (n + 1)-го узла является следствием уравнений для остальных n узлов и не входит в число независимых уравнений.

Для сети постоянного тока, например, из четырех узлов можно записать в следующем виде:

, (9.1)

где - ток k-го узла;

- неизвестное узловое напряжение, то есть напряжение между k-м узлом и балансирующим, совпадающим с базисным;

- (при ) - взаимная проводимость узлов k и j;

- собственная проводимость узла k.

Взаимная проводимость узлов j и k равна взятой с обратным знаком сумме проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы. Если между двумя узлами нет ветви, то соответствующая взаимная проводимость равна нулю. Если узлы k и j соединены одной ветвью с сопротивлением и проводимостью , то

. (9.2)

Пусть с узлом k соединено m ветвей, тогда:

, (9.3)

где (n + 1) - общее число узлов в сети, из которых n независимы.

Для рассматриваемой сети из четырех узлов, например:

. (9.4)

Будем использовать матрицу собственных и взаимных проводимостей узлов:

(9.5)

и вектор-столбцы токов в узлах I и узловых напряжений U:

, . (9.6)

Учитывая правило умножения матриц, систему уравнений узловых напряжений можно записать в матричной форме следующим образом:

. (9.7)

Для цепи переменного тока узловые напряжения, токи в узлах, собственные и взаимные проводимости узлов - комплексные величины. Систему уравнений узловых напряжений для цепи переменного тока можно записать в матричной форме:

. (9.8)

В справедливости этого матричного выражения легко убедиться, если принять во внимание правило умножения матриц с комплексными элементами.

При решении на ЭВМ уравнения узловых напряжений для сети переменного тока, как правило, приводятся к системе действительных уравнений порядка 2n, где n - число независимых узлов. Для этого представляют матрицы и вектор-столбцы с комплексными элементами в виде сумм матриц и вектор-столбцов с действительными элементами (при этом надо в виде такой суммы представить каждый комплексный элемент и учесть правило сложения матриц):

. (9.9)

Подставив (9.9) в (9.7), получим

. (9.10)

Запишем отдельно действительные и мнимые матричные слагаемые в последнем уравнении:

. (9.11)

Таким образом, систему уравнений узловых напряжений для цепи переменного тока можно записать в матричном виде следующим образом:

. (9.12)

Выражение (9.12) как раз и является системой действительных уравнений порядка 2n и содержит 2n неизвестных действительных и мнимых составляющих узловых напряжений (, ).

9.3. Уравнения узловых напряжений при напряжении балансирующего узла

Для сети постоянного тока из четырех узлов можно записать в следующем виде [3]:

. (9.13)

Полная система уравнений узловых напряжений, аналогичная (9.1), может быть записана в матричном виде для сети постоянного тока из (n + 1)-го узла следующим образом:

, (9.14)

где - полная матрица узловых проводимостей порядка (n + 1);

, - вектор-столбцы токов в узлах и напряжений узлов порядка (n + 1).

Сумма всех токов в узлах равна нулю. Полная матрица узловых проводимостей является симметричной и вырожденной, если не учитываются проводимости на землю.

Вырожденность полной матрицы следует, например, из (9.13) Полная система уравнений узловых напряжений (9.13) или (9.14) линейно зависима; независимыми являются лишь n уравнений.

Уравнения (9.13) или (9.14) решаются обычно следующим образом. Один из узлов системы, например (n + 1)-й, принимается за балансирующий. Напряжение в этом узле предполагается известным, а ток равен сумме токов остальных n узлов. Токи в остальных n узлах заданы, а напряжения неизвестны. Вместо вырожденной системы с полной матрицей (9.14) или (9.13) решается система n независимых уравнений узловых напряжений с неполной матрицей :

. (9.15)

или в матричном виде

. (9.16)

где вектор-столбец равен:

. (9.17)

Если в системе уравнений узловых напряжений учесть, что в соответствии с (9.3) равно:

, (9.18)

то (9.16) можно переписать в виде:

. (9.19)

Будем использовать вектор-столбец ()б), k-й элемент которого равен разности напряжений k-го и балансирующего узлов:

. (9.20)

Тогда уравнения узловых напряжений при (9.19) в матричной форме будут иметь вид:

. (9.21)

Выбор балансирующего узла, а также его напряжения (например, или ) не оказывают влияния на результат расчета установившегося режима линейных электрических систем.

Для нелинейных уравнений установившегося режима выбор балансирующего узла и его напряжение оказывают влияние на результат расчета режима. При расчетах установившегося режима электрических систем используются уравнения узловых напряжений (9.21), так как обычно в качестве балансирующего узла применяется станция, ведущая по частоте, напряжение которой, конечно, не равно нулю.

Для сети переменного тока система уравнений узловых напряжений может быть записана в виде комплексной системы:

. (9.22)

где - вектор-столбец, k-й элемент которого равен .

Используя (9.22) можно записать (9.12) в виде системы действительных уравнений порядка 2n следующим образом:

. (9.23)

где и - вектор-столбцы;

, - активные и реактивные взаимные проводимости узлов k и б.

9.4. Матрица собственных и взаимных проводимостей узлов