Материал: Лекции 4-5

не известен и приходится довольствоваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают некоторые свойства случайной величины. Такие числа будем называть числовыми характеристиками случайной величины.

Одной из таких характеристик является математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины X

называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Обозначают его в русской литературе M(X), иногда , в

западной литературе чаще E(X) (expectation).

Заметим, что по определению, математическое ожидание случайной величины есть величина неслучайная, т.е. постоянная.

Пример. Найти математическое ожидание случайной величины X,

определенной в предыдущем примере. ► По формуле (24) имеем:

( ) = 1 ∙ 16 + 2 ∙ 16 + 3 ∙ 16 + 4 ∙ 16 + 5 ∙ 16 + 6 ∙ 16 = 216 = 3,5. ◄

Вероятностный смысл математического ожидания - математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины, т.е. оно характеризует среднее значение случайной величины.

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой самой постоянной:

( ) = .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

( ) = ∙ ( ).

2. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

6

( ) = ( ) ∙ ( ).

3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно

сумме их математических ожиданий:

( + ) = ( ) + ( ).

Теорема 1. О математическом ожидании в независимых испытаниях

Математическое ожидание числа появлений успехов в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления успеха в каждом испытании: ( ) = .

Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины, но этого недостаточно. Рассмотрим дискретные случайные величины и , заданные следующими законами распределения:

Таблица 4. Законы распределения случайных величин и

Вычислим их математические ожидания:

( ) = 0,01 ∙ 0,5 + (−0,01) ∙ 0,5 = 0,

( ) = 1000 ∙ 0,5 + (−1000) ∙ 0,5 = 0.

Как мы видим, математические ожидания случайных величин и

совпадают, но, при этом величина принимает значения, близкие к математическому ожиданию, а величина – значения на 1000 отличающиеся от математического ожидания. Очевидно, математическое ожидание характеризует случайную величину не полностью. Нам потребуется еще одна числовая характеристика случайной величины, которая показывает, насколько значения этой величины рассеяны вокруг ее математического ожидания. Но,

для начала, введем еще одно определение.

Отклонением случайной величины называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: − ( ).

7

Заметим, что отклонение случайной величины – это тоже случайная величина. Очевидно, что если случайная величина распределена по

то закон распределения ее отклонения будет следующим:

Таблица 5. Закон распределения отклонения случайной величины

Имеет место следующая

Теорема 2. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

( − ( )) = 0.

Доказательство этого факта непосредственно вытекает из свойств математического ожидания:

( − ( )) = ( ) − (( )) = ( ) − ( ) = 0.

Определим теперь следующую числовую характеристику случайной величины, отвечающую за рассеяние ее значений вокруг математического ожидания.

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения:

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения, кроме дисперсии служат и некоторые другие

характеристики. К их числу относится среднеквадратическое отклонение.

Среднеквадратическим отклонением случайной величины называют

Пример. Найти дисперсию случайной величины , равной числу

выпавших очков при броске игральной кости.

►Для того, чтобы воспользоваться формулой (25), найдем закон распределения отклонения случайной величины . В предыдущем примере

мы нашли математическое ожидание этой случайной величины, и оно равно

( ) = 3,5. Тогда закон отклонения имеет вид:

По определению дисперсии, получаем:

( ) = (−2,5)2 ∙ 16 + (−1,5)2 ∙ 16 + (−0,5)2 ∙ 16 + 0,52 ∙ 16 + 1,52 ∙ 16 + 2,52 ∙ 16 =

По выше приведенному примеру видно, что вычисление,

непосредственно основанное на определении, оказалось довольно громоздким. Для упрощения вычисления дисперсии удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема 3. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата и квадратом ее математического ожидания:

►Доказательство этой теоремы также опирается на свойства математического ожидания:

( ) = ( − ( ))2 = ( 2 − 2 ∙ ( ) + ( ( ))2 = ( 2) − 2 ( ) ( ( )) + ( ( ))2 = ( 2) − 2 ( ) ( ) + ( ( ))2 =

( 2) − ( ( ))2,

причем ( 2) вычисляется как частный случай (24):

( 2) = ∑ =1 2 . ◄

9

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

( ) = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя

его в квадрат:

( ) = 2 ( ).

3.Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

( + ) = ( ) + ( ).

4.Дисперсия суммы случайной величины и константы равна дисперсии этой случайной величины (т.е. дисперсия не зависит от сдвига значений случайной величины):

( + ) = ( ).

5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме этих величин:

( − ) = ( ) + ( ).

Теорема 4. О дисперсии в независимых испытаниях

Дисперсия числа появлений успехов в n независимых испытаниях, в

каждом из которых вероятность появления успеха постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятность появления и не появления успеха в каждом испытании: ( ) = .

Пример. Проводится испытание на надежность трех видеорегистраторов.

Вероятность выхода из строя каждого из видеорегистраторов равна 0,85.

Найти математическое ожидание вышедших из строя видеорегистраторов,

дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

►Решение 1: Так как вероятность выхода из строя каждого из видеорегистраторов одинакова, имеем схему испытаний Бернулли. Для описания закона распределения числа , вышедших из строя регистраторов,

вычислим вероятности по формуле (16):

10