Материал: Лекции 4-5

Лекция 4

ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Мы уже сталкивались с примерами, когда возможным исходам испытания сопоставлялись некоторые числа. Например, если событие состоит в броске игральной кости, то каждый исход – выпадение определенного числа очков – можно сопоставить этому числу. Мы заранее, до броска, не знаем сколько очков выпадет, поэтому, говорим, что число выпавших очков является случайной величиной. Итак, случайной мы называем величину, которая в результате испытания примет одно из возможных значений, заранее неизвестное и зависящее от условий, которые не могут быть учтены.

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.

Дискретная в данном случае означает, что случайная величина может принимать только лишь некоторые изолированные друг от друга значения. О

непрерывных величинах мы поговорим в следующей главе.

Случайную величину можно описать как числовую функцию,

определенную на множестве элементарных исходов. Например, количество баллов, полученных на ЕГЭ по математике среди ста возможных – величина случайная, которая может принимать значения от 0 до 100 (конечно, все зависит от подготовки).

Случайные величины будем обозначать заглавными латинскими буквами

X, Y, Z и т.д., а значения, которые они могут принимать – соответствующими строчными буквами с индексами. Например, если случайная величина X

может принимать три значения, то эти значения мы будем обозначать через

1, 2 и 3.

При таком понимании случайных величин, дискретные случайные величины определим как случайные величины, которые принимают не более счетного множества отдельных возможных значений с определенными вероятностями.

Примерами дискретных случайных величин могут служить:

1

а) число успехов в серии испытаний Бернулли;

б) суммарное число очков, выпавшее на трех игральных костях;

в) количество пассажиров, прошедших через турникет станции метро за

1 минуту;

г) число попыток, необходимых студенту для успешной сдачи экзамена по теории вероятностей.

1.1.Закон распределения дискретной случайной величины

Для того чтобы задать дискретную случайную величину, необходимо задать множество значений, которые она может принимать и соответствующие вероятности, с которыми она принимает эти значения, т.е.

закон распределения дискретной случайной величины. Иными словами,

законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Его можно задать таблично, аналитически и графически.

Последовательность пар образует ряд

распределения. В случаях, когда случайная величина может принимать конечное число значений, будем описывать закон распределения с помощью таблицы, которая будет рядом распределения дискретной случайной величины

(таблица 2).

Таблица 2. Ряд распределения дискретной случайной величины

ограничения. Во-первых, как любая вероятность, они должны быть не отрицательными и не превышающими единицы: 0 ≤ ≤ 1. А во-вторых, их

2

сумма должна быть равна 1: ∑ =1 = 1, поскольку случайная величина X

достоверно принимает какое-то одно из своих возможных значений.

Таблицу распределения можно представить в виде полигона

(многоугольника) распределения. Для этого просто соединяем отрезками точки ( , ) плоскости XOY (см. рис. 5).

Y

Рисунок 5. Полигон распределения

1.2.Функция распределения дискретной случайной величины

Для наглядности закон распределения случайной величины изображают графиком функции распределения случайной величины.

Функцией распределения случайной величины называют функцию,

значение которой в точке x равно вероятности того, что значение случайной величины строго меньше x.

Функцию распределения случайной величины X будем обозначать через

( ), или просто ( ), если понятно о какой случайной величине идет речь.

По определению, ( ) = ( < ). Для дискретной случайной величины график функции распределения является ступенчатой функцией со скачками

в точках и представляет собой набор отрезков, параллельных оси OX,

напоминает «лесенку», т.е. функция распределения – сумма вероятностей тех значений, которые расположены левее (см. рис. 6).

симметричной игральной кости. Начертить график функции распределения.

►При броске игральной кости может выпасть любое число от 1 до 6, при этом, так как кость симметричная, то эти события равновозможны.

График этой функции – кусочно-постоянная линия, изображенная на рисунке 7.

4

1

5/6

4/6

3/6

2/6

1/6

3.Функция ( ) неубывающая.

4.( ≥ ) = 1 − ( < ) = 1 − ( ).

5.( 1 ≤ ≤ 2) = ( 2) − ( 1).

Событие попадания в интервал (−∞; 2) можно представить в виде суммы двух событий { < 2} = { < 1} + { 1 ≤ < 2}.

Так как слагаемые в правой части – события несовместные, то

{ < 2} = { < 1} + { 1 ≤ < 2}.

Заменяя первые две из этих вероятностей на функцию распределения,

1.3.Числовые характеристики дискретной случайной величины

Итак, дискретная случайная величина полностью характеризуется своим законом распределения, заданным в виде таблицы или с помощью функции распределения. Однако, в некоторых случаях закон распределения полностью

5