5

Лекция 6 Электрическое поле постоянных токов.

Уравнения электрического поля постоянных токов получим из полной системы уравнений электромагнитного поля. Условие постоянства токов означает, что в каждой точке поля плотность тока не зависит от времени J(t)=const. Магнитное поле созданное постоянными токами, также является постоянным: B(t)=const, H(t)=const . Тогда из закона электромагнитной индукции следует, что электрическое поле постоянных токов является безвихревым, как и электростатическое поле, т. е. потенциальным:

; =–gradU .

Принцип непрерывности электрического тока, являющийся следствием закона полного тока, говорит о непрерывности линий плотности тока:

div =div rot =0 .

Постулат Максвелла и уравнения связи между векторами остаются без изменения:

div = ; ; в диэлектрике около проводников с токами;

постоянные токи могут протекать только в проводниках.

Так как электрическое поле постоянных токов может существовать как внутри проводников, так и в диэлектрике вокруг них, то рассмотрим оба случая.

Электрическое поле в диэлектрике около проводников с постоянными токами.

Уравнения, описывающие это поле, те же самые, что и в электростатическом поле:

; div =(=0); ; =–gradU; U= .

Однако на границе диэлектриков и проводников с постоянными токами граничные условия отличаются от условий в электростатическом поле.

Поверхность проводника совпадает с линией плотности тока (J≠0). Это означает, что на поверхности проводника существует касательная к границе составляющая вектора напряженности: J=E_ , и вектор напряженности в диэлектрике не перпендикулярен поверхности проводника с током (рис. 6–1).

+ i E_

E_n­ E

R_нагр

i E_

–

E E_n

Рисунок 6–1

В реальных случаях E_ << E_n и касательной составляющей вектора напряженности можно пренебречь. При этом рассматриваемое поле полностью аналогично электростатическому полю, и можно использовать все рассмотренные ранее методы расчета.

Электрическое поле постоянных токов в проводящей среде.

Уравнения, описывающие это поле, имеют вид:

; div = 0; ; = – grad U; U = 0.

Первое и второе уравнения используются в электрических цепях под названием законов Кирхгофа:

; . – второй закон Кирхгофа при отсутствии э.д.с. u_k = 0

div = 0; – первый закон Кирхгофа i_k = 0.

Законы Кирхгофа и Ома мы применяли в электрических цепях в интегральной форме, используя интегральные характеристики цепей – сопротивление проводника, ток в проводнике, напряжение на участке цепи.

Теперь, рассматривая уравнения в дифференциальной форме, мы получаем возможность выяснить, как распределен ток в проводнике, как зависит сопротивление от формы проводника и другие интересующие нас вопросы. Как и в предыдущих случаях при расчете этих полей можно использовать все ранее рассмотренные методы расчета.

Во многих практических задачах линии плотности тока переходят из среды с высокой в среду с существенно более низкой удельной проводимостью, например, случай протекания тока от металлических конструкций в землю при расчете заземлителей.

Удельная проводимость земли зависит от состава почвы и ее влажности. Для увлажненного чернозема она составляет примерно _з=10^-2 1/Ом·м. Удельная проводимость стали, из которой обычно изготавливаются элементы заземлителей значительно выше: _ст=5·10⁶ 1/Ом·м. Из условий преломления векторов на границе раздела проводников, рассмотренных в первой лекции, можем записать:

; .

Это означает, что линии плотности тока и напряженности электрического поля в среде с малой удельной проводимостью (в земле) перпендикулярны поверхности проводников.

Аналогия электрического поля постоянных токов и электростатического поля. Метод электростатической аналогии.

Сравним уравнения одного и другого поля. В верхней строчке записаны уравнения электрического поля постоянных токов в проводящей среде, а в нижней – уравнения электростатического поля:

; div = 0; ; = – grad U; i = u·G.

; div = 0; ; = – grad U; q = u·C.

С опоставляя уравнения легко показать, что одна система переходит в другую при взаимной замене:

 ↔  i ↔ q G ↔ C

Если конфигурация границ в поле постоянных токов в проводящей среде и в электростатическом поле одинакова и если граничные условия для векторов и в этих полях совпадают, то эти электрические поля должны быть полностью аналогичны. На этом основан метод расчета полей в проводящих средах, называемый методом электростатической аналогии.

Расчет сопротивления заземления

Сопротивление заземления сферического заземлителя. Рассмотрим стальной заземлитель в форме шара, находящийся в земле, на глубине, существенно превышающей его диаметр (рис.6–2а)

_з i

_ст

_з R_ш

J(E)

_ст J(E)

а) б)

Рисунок 6–2

Линии напряженности и плотности тока перпендикулярны поверхности шара в земле. В виду того, что шар находится на большой глубине, можно пренебречь искажениями поля вблизи поверхности земли и считать картину поля симметричной относительно центра шара. Проводимость заземлителя (величина обратная его сопротивлению) равна: ,

где u – напряжение между поверхностью шара и бесконечно удаленной точкой. Применяя метод электростатической аналогии, заменим ток (i) на заряд (q), а проводимость земли (_з) на диэлектрическую проницаемость (). В результате получим поле заряженной проводящей сферы, того же радиуса в диэлектрике, которая в электростатическом поле характеризуется электрической емкостью, определяемой из отношения: .

В еличина емкости проводящей сферы радиуса R_ш известна из расчетов электростатического поля: C = 4R_ш. Заменяя в соответствии с методом диэлектрическую проницаемость на удельную проводимость земли, получаем проводимость и сопротивление заземлителя:

Метод пригоден для расчета сопротивления заземлителя произвольной формы, если глубина его расположения существенно больше линейных размеров устройства.

Если же глубина расположения заземлителя соизмерима с его линейными размерами, то для расчета его параметров не обойтись без метода зеркальных изображений.

Сопротивление заземления полусферического заземлителя. Рассмотрим заземлитель в виде половины стального шара, плоскость сечения которого находится на уровне поверхности земли (рис. 6–2б) Воспользовавшись методом зеркальных изображений, получаем конфигурацию, рассмотренную в предыдущем примере. Проводимость шара нам уже известна, а проводимость полусферы из соображений симметрии оказывается вдвое меньшей, т. е. в этом случае получаем: G_з = 2_зR.

Аналогичный подход следует применить для расчета сопротивления заземления трубчатых заземлителей (рис. 6–3)

i

J(E) J(E)

а) б)

Рисунок 6-3

Применим к трубчатому заземлителю (рис. 6–3а) метод зеркальных изображений. В результате получаем случай проводящей трубы двойной длины в однородном пространстве (рис. 6–3б). С помощью метода средних потенциалов можно рассчитать собственный потенциальный коэффициент, а затем и емкость трубы в диэлектрике. По методу электростатической аналогии получаем ее проводимость в земле. Искомая проводимость заземлителя равна половине полученной проводимости трубы двойной длины.

Заземления чрезвычайно широко используются в технике. Основное назначение заземления – обеспечение безопасности жизни и здоровья технического персонала на производстве и населения при использовании бытовой техники. Такое заземление называется охранным. Кроме того, используется так называемые рабочее заземление, предназначенной для пропускания электрического тока через землю для обеспечения работоспособности некоторых установок.

Рабочее заземление используют в линиях электропередач постоянного тока. В этих передачах на концах линии установлены преобразователи. На генераторном конце переменное напряжение преобразуется в постоянное с помощью высоковольтного выпрямителя, составленного из включенных последовательно отдельных блоков. На приемном конце осуществляется обратное преобразование постоянного напряжения в переменное с помощью высоковольтного инвертора, также составленного из включенных последовательно отдельных блоков.

В качестве блоков выпрямителя и инвертора используются статические преобразователи на полупроводниковых вентилях. Они требуют постоянного технического обслуживания, для которого их нужно периодически отключать. Чтобы при этом и при ремонте вышедших из строя блоков не отключать всю линию, средние точки выпрямителя и инвертора заземляют (рис.6–4).

i

~ +

В И ~

~ В И ~

(ремонт) (ремонт)

i – i

i

Рисунок 6–4

Во время ремонта нижних (или верхних) блоков преобразователей линия передач продолжает снабжать потребителей по верхней (или нижней) полуцепи. Причем ток возвращается через землю с помощью рабочего заземления. Именно для этих случаев необходимо уметь точно рассчитывать величину сопротивления заземления.

Моделирование электростатических полей полем постоянного тока в проводящей среде

Метод электростатической аналогии в случае сложных границ областей электростатического поля позволяет моделировать эту область с помощью поля тока в проводящей среде. Для моделирования плоскопараллельных полей могут быть использованы твердые модели на основе металлических или других токопроводящих листов, например из электропроводной бумаги. Для трехмерных областей моделирование осуществляется с помощью электролитической ванны.

При исследовании плоскопараллельного поля двухпроводной линии передач, которое мы рассматривали как поле двух параллельных заряженных тонких нитей, можно воспользоваться моделью – плоским проводящим листом соответствующей формы с зажимами для подвода тока. Для создания модели изготовим круг из проводящего материала и подведем к нему постоянный ток через медные зажимы (рис. 6–5).

E(J)

i

Рисунок 6–5

Линии напряженности поля представляют собой окружности, проходящие через электрические оси проводов. В проводящей среде эти линии совпадают с линиями плотности тока в модели. Граница проводящего листа всегда совпадает с линией плотности тока, поэтому в рассматриваемом случае граница области должна быть окружностью, совпадающей с линией напряженности, проходящей через электрические оси.

Измеряя с помощью гальванометра потенциалы точек проводящего листа, построим линии равного потенциала, которые будут перпендикулярны линиям напряженности, в том числе и границам проводящего листа. Приращение потенциала между соседними линиями выбираем одинаковым. Равнопотенциальные линии идентичны в обоих полях, таким образом, полученная картина соответствует картине исходного электростатического поля. Затем достраиваем картину поля, изображая линии напряженности, в соответствии с правилами графического построения картины поля.

Методы моделирования особенно широко применяются при исследовании полей в областях с границами сложной формы.