Курсовая работа (т): Изучение возможностей массивно-параллельных вычислений в применении к задачам математической физики

Вообще тип  является одним из добавленных в CUDA C типов. Кроме него в этом языке появились и другие типы-векторы, например , , , , базирующиеся на стандартном типе . Удобный для работы с двумерными структурами, тип  активно использовался в этой работе.

Кроме спецификаторов, некоторых новых типов и директивы запуска ядра в CUDA C добавлен также набор дополнительных функций. Так, для того чтобы функция-ядро выполнялась над набором данных, необходимо выделить некоторое количество памяти на GPU, и это осуществляется при помощи аналога стандартной функции  - . Чтение и запись в область памяти, выделенную этой особой функцией, разрешается только из кода, выполняемого устройством; разыменовывать указатель, возвращаемый ей, с центрального процессора нельзя. Поэтому еще одним очевидным расширением языка должна стать специальная функция, которая освобождает память устройства, аналог . Она получила название  и вызывается из кода, выполняемого CPU. Функция  в свою очередь позволяет копировать данные из памяти CPU в память GPU и обратно, что является одним из основных способов обмена данными между процессором и устройством. Подробнее синтаксис вызова и использование всех этих функций будут рассмотрены в четвёртой главе.

Практически во всех программах, которые выполняются многопоточно, в их параллельной части необходимо осуществлять какие-то операции с номером текущего потока. В архитектуре CUDA номер потока - это номер текущей нити, который можно получить, зная размер блока, номер блока в сетке и номер нити в блоке. За эти параметры отвечают встроенные переменные ,  и  соответственно.

Для примера рассмотрим задачу, которая прекрасно накладывается на архитектуру параллельных вычислений. Найдем приближённое значение интеграла:

применяя метод прямоугольников. Как известно, точное значение такого интеграла равно числу .

Простейший пример кода на C++ может выглядеть так:

Тот же код, преобразованный для работы с технологией CUDA:

) часть, выполняемая CPU:

) функция выполняемая на GPU:

Результат работы программы:

Рассмотренный пример очень хорошо иллюстрирует использование CUDA, которое, как легко заметить, сводится к следующему алгоритму:

) выделение памяти на GPU;

) копирование данных из памяти CPU в выделенную память GPU;

) осуществление запуска ядра;

) копирование результатов вычислений обратно в память CPU;

) освобождение выделенной памяти GPU.

Фактически для каждого допустимого индекса входных массивов запускается отдельная нить для осуществления нужных вычислений. Все эти нити выполняются параллельно, и каждая нить может получить информацию о себе через встроенные переменные. /10, 13/

Что касается выигрыша во времени, то, согласно эксперименту, для одного миллиона разбиений интервала интегрирования время вычисления с помощью CUDA по сравнению с временем исполнения аналогичной CPU-программы сократилось более, чем в десять раз.

В современном мире области возможного применения технологии CUDA невероятно широки. Массивно-параллельные вычисления успешно используются в некоторых областях медицины, в обработке изображений, в науках об окружающей среде. В гидродинамике, например, очень сложное движение обтекающих потоков воздуха или жидкости сделало невероятно ресурсоёмким процесс конструирования рабочих механизмов, а с применением параллельного вычисления появилась возможность значительно сократить время, а значит и стоимость расчетов. /10/

В наше время значительная часть стоящих перед человечеством физических задач не может быть решена за обозримое время, если использовать для решения только параллельные алгоритмы. Поэтому в данной дипломной работе предлагается проверить возможности технологии CUDA в задачах математической физики. Для примера была взята задача о колебаниях, которая прекрасно накладывается на параллельную архитектуру.

2. МЕТОДЫ И МЕТОДИКИ ИССЛЕДОВАНИЙ

В процессе работы над поставленными задачами использовались следующие математические методы:

) для решения уравнения колебаний - метод разделения переменных;

) для расчёта входящих в решение коэффициентов - быстрое преобразование Фурье;

) для альтернативного расчета коэффициентов - метод квадратур Лежандра-Гаусса.

Также использовались следующие средства:

) для написания кода и компиляции - интегрированная среда разработки Microsoft Visual Studio 9.0;

) для создания кода, выполняемого GPU, и его компиляции - набор инструментов CUDA Toolkit 4.0 и комплекс средств разработки CUDA SDK 4.0;

) для пошаговой проверки результатов, для расчёта узлов и весовых коэффициентов метода квадратур Гаусса - математический пакет Maple 13;

) для вычисления коэффициентов Фурье - библиотека CUFFT;

) для оценки времени расчёта коэффициентов Фурье на процессоре - библиотека FFTW;

) для визуализации результата - открытая графическая библиотека OpenGL 4.2.

Видеокарта, на которой производились расчёты: NVIDIA GeForce 9200M GS.

3. ЗАДАЧА О МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ

колебание задача коэффициент амплитуда

Для демонстрации возможностей параллельного вычисления в общем и технологии CUDA в частности была выбрана задача о малых колебаниях. Такой выбор основан на исключительной простоте задачи, что позволяет найти несколько разных алгоритмов вычисления и остановиться на оптимальном, а также с помощью дополнительных независимых расчётов легко проверить точность получаемого решения. Также задача о колебаниях хороша тем, что даёт прекрасную возможность для визуализации результата, что послужит лишним подтверждением корректности вычислений и наглядной демонстрацией их производительности.

На начальном этапе работы все расчёты производились на примере одномерной задачи о колебаниях струны. После достижения положительного результата они были распространены на случай двумерной мембраны. Именно этот двумерный случай впоследствии и был визуализирован.

.1 Постановка задачи. Вывод уравнения

Возьмём натянутую струну (под струной здесь и далее понимается тонкая упругая нить) и немного отклоним её от положения равновесия, а затем отпустим. Получив некоторое количество энергии струна начнёт колебательный процесс, который - в идеальном случае отсутствия сопротивления среды - будет продолжаться бесконечно долго.

В последующих рассуждениях остановимся именно на этом простейшем случае свободных поперечных колебаний и найдем уравнение, иллюстрирующее поставленную задачу.

Пусть есть струна, которая способна совершать малые колебания в плоскости  около некоторого равновесного положения, совпадающего, положим, с осью . Пусть также существует некоторая функция координаты и времени , которая определена для всех точек струны и несёт в себе смысл отклонения её в точке  в момент времени  от равновесного положения. Допустим, что натяжение достаточно велико и можно пренебречь сопротивлением при изгибе и силой тяжести. Вместе с этим будем опускать все величины высшего порядка малости по сравнению с

Так как струна изгибу не сопротивляется, сила её натяжения  в любой точке  будет направлена по касательной этой точке /4/. В силу нашего приближения любой участок струны даже после отклонения от равновесия своей длины не изменит. Действительно, длина плоской кривой, заданной уравнением , опирающейся на точки с координатами и , как известно, равна:

Рисунок 1

что, при учёте пренебрежения малым слагаемым, даст , то есть длину участка струны в положении равновесия. Определяемое законом Гука абсолютное значение силы натяжения напрямую зависит от удлинения струны, а значит в контексте данной задачи будет постоянным, не зависящим ни от координаты, ни от времени, и равным некоторому значению .

Согласно второму закону Ньютона, сумма сил, приложенных к элементу струны , равна произведению ускорения такого элемента на его массу (рисунок 1). Массу выразим через линейную плотность , а сила натяжения, действующая на участок струны, может быть представлена разностью:

Таким образом, уравнение движения в проекции на ось, перпендикулярную оси, запишется так:

Теперь выразим синус угла через производную смещения:

и получим: