Материал: Измерение линейных размеров оптиметром ИКГ Методические указания

Чем меньше погрешность измерения, тем оно точнее. Отношение абсолютной ошибки измерения к истинному

значению измеряемой величины (если последняя не равна нулю)

называется относительной ошибкой измерения:

Она является величиной безразмерной и показывает, какую долю измеряемой величины составляет ошибка и обычно выражается в процентах.

Указание относительных ошибок приобретает особое значение из-за того, что позволяет сравнивать качество измерений различных величин. Например, по относительным погрешностям можно сопоставлять точность измерения массы и длины, размеров микро- и макрообъектов.

Под точностью измерения понимают качество измерения, отражающее близость результата к истинному значению измеряемой величины. Точность измерения количественно характеризуется числом, равным обратному значению относительной погрешности, выраженной в долях измеряемой величины. Например, если

Результат измерения можно было бы записать в виде

x0 xi xi0 ,

однако нам неизвестно истинное значение измеряемой величины x0 .

Поэтому обычно производят несколько (n) измерений искомой величины, и в качестве результата наиболее близкого к x0 принимают

среднее арифметическое значение

6

Вероятность называется доверительной вероятностью.

Методы учета инструментальных погрешностей

Наиболее распространенными систематическими ошибками являются инструментальные (приборные) погрешности. Количественно они характеризуются предельной допустимой основной погрешностью пр – практически наибольшей по

абсолютной величине возможной разностью между показанием прибора и истинным значением измеряемой величины. В большинстве случаев пр определяется классом точности прибора или указывается

в инструкции по его применению.

Например, у электроизмерительных приборов класс точности равен отношению погрешности пр к номинальному (наибольшему)

значению шкалы (приведенная погрешность) и обозначается одним из чисел, в %: 0,05; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4. В данном случае, зная класс точности прибора и номинальное значение шкалы, можно определить погрешность пр , которую мы вынуждены считать постоянной по

всей шкале прибора. Так, миллиамперметр класса 0,5 с полной шкалой на 150 мА измеряет пропускаемый ток с ошибкой, не превышающей

150м 0,5% 0,75мА.

Для приборов, отградуированных по образцовым мерам, базой для определения систематической погрешности является оценка ошибки отсчета, которая возможна для данной шкалы измерительного средства. Исследованиями установлено:

а) высокую точность имеют отсчеты, когда стрелка прибора показывает целое деление или половину деления шкалы,

б) за погрешность отсчета может быть принята половина цены наименьшего деления шкалы.

7

Так, например, секундомер имеет наименьшее деление шкалы 0,2 с; точный отсчет десятых долей этого деления невозможен из-за конечной толщины стрелки; систематическую погрешность можно принять равной 0,1 с.

В лабораторной практике часто встречаются систематические погрешности, обусловленные свойствами измеряемого объекта, например, отклонениями от формы поверхности (неплоскостность, некруглость и т.д.) измеряемой детали, неоднородностью материала и т.п. Они могут быть переведены в случайные погрешности путем многократных измерений в различающихся условиях (в различных местах, сечениях). Такой прием превращения систематической ошибки в случайную называется рандомизацией. Метод позволяет практически исключить многие неизвестные систематические погрешности и широко используется на практике. Отметим, что никогда не следует ограничиваться однократным измерением. Всегда нужно проводить повторное контрольное измерение. Если результаты совпадают, на этом можно остановиться и за ошибку принять приборную погрешность пр , а когда она неизвестна – половину цены

наименьшего деления шкалы. При ответственных измерениях необходимо предварительно отградуировать прибор.

Если результаты измерений различаются, то следует предпринять целую серию повторных измерений с тем, чтобы вклад случайных погрешностей в общую ошибку стал меньше той ошибки, которую дает прибор.

Ошибка среднего арифметического

На практике обычно выполняется некоторый ряд из n измерений

среднее арифметическое из результатов измерений:

Основной задачей теории ошибок является оценка точности приближенного равенства (7).

Среднее арифметическое х случайных величин является также случайной величиной.

8

Разность xi xi х называют остаточной ошибкой отдельного

измерения.

Величина Sn – средняя квадратичная ошибка отдельного измерения, вычисляется по формуле:

Эта формула называется формулой Бесселя.

Средняя квадратичная ошибка среднего арифметического S x определяется по формуле:

Доверительный интервал и доверительная вероятность

Как было сказано, доверительным называют интервал ( х x, х x ), который с заданной доверительной вероятностью δ содержит истинное значение х0 искомой величина; ( х x) и ( х x )

являются доверительными границами интервала. При этом обычно задаются стандартными значениями доверительной вероятности 0,9; 0,95; 0,99; 0,999.

Доверительной вероятностью называют вероятность δ того,

что истинное значение х0 измеряемой величины содержится внутри заданного доверительного интервала ( х x, х x ). При этом δ

выражают либо в долях единицы (доверительная вероятность), либо в процентах (надежность).

Для нахождения границ доверительного интервала заданной доверительной вероятности применяют так называемые коэффициенты Стьюдента t (п)

9

Распределение случайной величины t (п) получил английский

химик и математик В.С. Госсет, публиковавший свои работы под псевдонимом "Стьюдент" (студент).

Для коэффициентов Стьюдента составлены подробные таблицы. Далее приводится небольшая часть из них.

Таблица 1

Значения коэффициентов Стьюдента

Например, задавая доверительную вероятность 0,95, при числе проведенных измерений п 5 по таблице 1 можно найти

10