Рис. 9. Зависимость коэффициента в разложении (2) от расстояния (по частоте) между границами A и B вырожденной и бриллюэновской ЗЗ. Параметры ФК приведены в тексте. Квадраты - результаты численных расчетов, прямая - линия тренда, проведенная через квадраты.
Таким образом, исходя из приведенных качественных рассуждений и результатов численных расчетов, вырожденная граница запрещенной зоны возникает тогда, когда происходит касание границы бриллюэновской запрещенной зоны и границы вырожденной запрещенной зоны.
Заключение
Для случая одномерного ФК нами рассмотрены условия формирования вырожденной границы запрещенной зоны, т.е. такой границы ЗЗ, в окрестности которой дисперсионная зависимость описывается параболой 4-й степени . Вырожденная граница запрещенной зоны интересна тем, что на частотах в ее окрестности спектр ФК имеет решение в виде замороженной моды. В данной работе показано, что вырожденная граница запрещенной зоны формируется тогда, когда в ФК некоторая частота (которая и будет частотой вырожденной границы ЗЗ) является одновременно границей бриллюэновской и вырожденной запрещенных зон. Данный вывод справедлив для любого одномерного ФК из анизотропных и гиротропных материалов. При этом вырожденная ЗЗ, участвующая в формировании вырожденной границы ЗЗ, может быть образована не только на частотах вдали от бриллюэновских ЗЗ, но и на частотах пересечения двух бриллюэновских ЗЗ, соответствующих разным блоховским модам. Таким образом, обосновано существование ФК, в которых реализуется вырожденная граница ЗЗ и соответствующая замороженная мода, и указаны достаточные условия формирования вырожденной границы.
Литература
1. E. Yablonovitch, “Inhibited Spontaneous Emission in Solid-State Physics and Electronics,” Phys. Rev. Lett. 58, 2059-2062 (1987).
2. S.G. Johnson, J. D. Joannopoulos. Photonic crystals: the road from theory to practice. Kluwer Academic Publisher, London, 2002.
3. M. Inoue and T. Fujii, “A theoretical analysis of magneto-optical Faraday e?ect of YIG ?lms with random multilayer structures,” J. Appl. Phys. 81, 5659-5661 (1997).
4. S. Fan, P. R. Villeneuve, J. D. Joannopoulos, H. A. Haus “Channel Drop Tunneling through Localized States,” Phys. Rev. Lett. 80, 960-963 (1998).
5. M.J. Steel, M. Levy, and R.M. Osgood, Jr., “Photonic Bandgaps with Defects and the Enhancement of Faraday Rotation” J. Lightwave Technol. 18, 1297-1309 (2000).
6. S. Fan, “Sharp asymmetric line shapes in side-coupled waveguide-cavity systems,” Appl. Phys. Lett. 80, 908-910 (2002).
7. A. Figotin and I. Vitebskiy, “Gigantic transmission band-edge resonance in periodic stacks of anisotropic layers,”Phys. Rev. E 72, 036619 (2005).
8. A. Figotin and I. Vitebskiy, “Frozen light in photonic crystals with degenerate band edge,” Phys. Rev. E 74, 066613 (2006).
9. A. Figotin and I. Vitebskiy, “Electromagnetic unidirectionality in magnetic photonic crystals,” Phys. Rev. B 67, 165210 (2003).
10. J. Ballato, A. Ballato, A. Figotin and I. Vitebskiy, “Frozen light in periodic stacks of anisotropic layers Frozen light in periodic stacks of anisotropic layers,” Phys. Rev. E 71, 036612 (2005).
11. A. Figotin and I. Vitebskiy, “Nonreciprocal magnetic photonic crystals,” Phys. Rev. E 63, 066609 (2001).
12. M. Levy, “Normal modes and birefringent magnetophotonic crystals,” J. Appl. Phys. 99, 073104 (2006).
13. A.M. Merzlikin, A.P. Vinogradov, M. Inoue, and A.B. Granovsky, “Giant photonic Hall effect in magnetophotonic crystals” Phys. Rev. E 72, 046603 (2005).
14. Z. Yu., G. Veronis, Z. Wang, and S. Fan, “One-Way Electromagnetic Waveguide Formed at the Interface between a Plasmonic Metal under a Static Magnetic Field and a Photonic Crystal,” Phys. Rev. Lett. 100, 023902 (2008).
15. F. Wang and A. Lakhtakia, “Intra-Brillouin-zone bandgaps due to periodic misalignment in one-dimensional magnetophotonic crystals,” Appl. Phys. Lett. 92, 011115 (2008).
16. I. L. Lyubchanskii, N. N. Dadoenkova, M. I. Lyubchanskii, E. A. Shapovalov, A. Lakhtakia, and Th. Rasing, “One-dimensional bigyrotropic magnetic photonic crystals,” Appl. Phys. Lett. 85, 5932-5934 (2004).
17. F. Wang and A. Lakhtakia “Magnetically controllable intra-Brillouin-zone band gaps in one-dimensional helicoidal magnetophotonic crystals,” Phys. Rev. B 79, 193102 (2009).
18. M. Inoue, R. Fujikawa, A. Baryshev, A. Khanikaev, P. B. Lim, H. Uchida, O. Aktsipetrov, A. Fedyanin, T. Murzina, and A. Granovsky, “Magnetophotonic crystals,” J. Phys. D 39, R151 (2006).
19. G. Shabtay, E. Eidinger, Z. Zalevsky, D. Mendlovic, and E. Marom, “Tunable birefringent filters - optimal iterative design,” Opt. Express 10, 1534-1541 (2002).
20. I. Љolc, “A new kind of double refracting filter,” Czech. J. Phys., Sect. A 4, 65-66 (1954).
21. P. Yeh, “Electromagnetic propagation in birefringent layered media,” J. Opt. Soc. Am. 69, 742-756 (1979).
22. R. Zengerle, “Light propagation in singly and doubly periodic planar waveguides,” J. Mod. Opt. 34, 1589-1617 (1987).
23. E. Cojocaru, “Forbidden Gaps in Periodic Anisotropic Layered Media,” Appl. Opt. 39, 4641-4648 (2000).
24. A. M. Merzlikin, A. P. Vinogradov, M. Inoue, A. B. Khanikaev, and A. B. Granovsky, “The Faraday effect in two-dimensional magneto-photonic crystals,” J. Magn. Magn. Mater. 300, 108-111 (2006).
25. A. M. Merzlikin, A. P. Vinogradov, A. V. Dorofeenko, M. Inoue, M. Levy, and A. B. Granovsky, “Controllable Tamm states in magnetophotonic crystal,” Physica B 394, 277-280 (2007).
26. M. Levy and A. A. Jalali, “Band structure and Bloch states in birefringent one-dimensional magnetophotonic crystals: an analytical approach,” J. Opt. Soc. Am. B 24, 1603-1609 (2007).
27. A. A. Jalali and M. Levy, “Local normal-mode coupling and energy band splitting in elliptically birefringent one-dimensional magnetophotonic crystals,” J. Opt. Soc. Am. B 25, 119-125 (2008).
28. A.M. Merzlikin, Miguel Levy, A.A. Jalali, and A.P. Vinogradov “Polarization degeneracy at Bragg reflectance in magnetized photonic crystals,” Phys. Rev. B 79, 195103 (2009).
Аннотация
Рассмотрены условия, при которых для одномерного фотонного кристалла формируется замороженная мода вблизи стационарной точки щ~k4Bl дисперсионной кривой. В работе показано, что данный вид замороженной моды формируется на частоте касания границ бриллюэновской и вырожденной запрещенных зон.
Ключевые слова: замороженная мода, запрещенные зоны фотонных кристаллов.
Conditions of the formation of the frozen mode near the stationary point щ~k4Bl of a dispersion relation are analyzed in case of a 1D photonic crystal. It is shown that the frozen mode of this type forms at the frequency of the contact of boundaries of Brillouin and degenerate band gaps.
Key words: frozen mode, photonic crystal band gaps.