Дипломная (вкр): Физическая модель слоистой среды на основе амплитудно-частотных характеристик сейсмических волн

выполненная механическая работа + количество выделенного тепла = увеличению внутренней и кинетической энергии тела.

В этом соотношении второе слагаемое левой части равенства можно представить в виде где  - скорость распространения тепла через единичную площадку, перпендикулярную единичному вектору . Адиабатическая деформация - характерное явление в сейсмологии для длин волн больших нескольких миллиметров /17/, поэтому, = 0 и, следовательно, энергия механических колебаний должна переходить во внутреннюю и кинетическую энергию частиц среды.

Обширные данные о затухании сейсмических волн приводятся в работах /17-19/. Для получения этих данных авторы используют результаты полевых и лабораторных исследований горных пород /16/. Большое количество данных о диссипации энергии сейсмических волн привело к необходимости построить теорию, которая давала бы возможность одновременно учитывать затухание распространяющихся Р и S волн, а также определять значения волновых диссипативных параметров в области сейсмических частот.

Классическими моделями, описывающими неупругое поведение сред являются: тела Кельвина-Фойгта, Максвелла и стандартное линейное тело /12/. Отметим отрицательные явления, характерные для классических моделей, а потом запишем уравнение с последействием, где они отсутствуют. В теле Кельвина-Фойгта при уменьшении релаксационных модулей до нуля, т.е. при переходе к гуковскому телу, имеем уменьшение продольного и сдвигового напряжений, что противоречит молекулярной сущности деформации. В теле Максвелла при фиксированном напряжении деформация неограниченно растет, поэтому уравнение имеет смысл только для сдвиговых напряжений, когда тело течет. В стандартном линейном теле отсутствуют отрицательные свойства отмеченные для тел Кельвина-Фойгта и Максвелла. Однако, горные породы ведут себя при распространении волн существенно иначе, чем это можно предвидеть при помощи классических моделей. Это объясняется одновременным существованием множества диссипативных механизмов. Кроме того, из уравнений движений, в которых используются все три типа тел, следует существенная зависимость декрементов затухания от частоты, что противоречит большинству опытных данных.

Еще в 1876 году Больцман /17/предложил следующий вид уравнения состояния:

                                                       (1.39)

где) - функция крипа /17/, последействия, функция памяти,

- релаксационный неупрзпгий модуль,

- деформация и напряжение для одномерного случая.

Многие исследователи занимались подбором ) для получения согласия с экспериментом зависимостей фазовой скорости и добротности от частоты /18,19/. Основоположной здесь следует считать работу Николаева Б.Г. /18/, где показано как соответствующим выбором ядер последействия для уравнения (1.39) можно переходить к тем или иным моделям неидеально упругих сред (Больцмана, Дерягина) и определять диссипативные характеристики с использованием метода итераций.

Рассмотрим кратко другой эмпирический подход, основанный на дисперсионных соотношениях зависимости между скоростью и коэффициентом затухания гармонических колебаний (соотношениях Крамерса-Кронига). Используя известную эмпирическую формулу коэффициента затухания /17/

                                                                                 (1.40)

где  - угловая частота;

c - скорость волны;

Q - постоянная добротность;

импульс распространяющейся волны можно представить в виде

 (1.41)

Форма этого импульса не совпадает с опытом в следующем /20/:

·        уравнение (1.41) описывает кривую симметричную относительно , реальный же импульс имеет время затухания намного больше, чем время возрастания;

·        экспериментальный импульс имеет наклон возрастания приблизительно в полтора раза меньше чем в (1.41). Для обхода указанной трудности Футтерманом /21/ предложено ввести дисперсию скорости . Далее в работе /21/, исходя из того, что давление распространяющейся волны отсутствует там, куда не пришло возмущение от источника

 ,                                                                    (1.42)

где  - максимальная скорость распространения гармонической волны; Получены дисперсионные соотношения между скоростью и коэффициентом затухания гармонических колебаний.

Из экспериментальных данных известно, что Q чаще всего постоянно в области сейсмических частот /20/, поэтому в (1.40) подбирается такой закон , не обязательно линейный, для которого Q эффективно постоянно в области исследуемых частот. Далее по известной функции α(ω), определяется дисперсия фазовой скорости  из соотношений Крамерса-Кронига.

Таким образом, получаются эмпирические выражения для α(ω), Q(ω) в неидеально-упругой среде. Интересно, однако, получить дисперсионные соотношения исходя из физических законов о деформируемости сред. Соответствующая теория изложена в следующем подразделе, она разработана Гуревичем Г.И. /22/.

1.3.2 Теория деформации, основанная на физических закономерностях о сжимаемости и деформируемости сред

В качестве прообраза используемой общей модели неидеально упругой среды Гуревич Г.И. /22/ предложил поликристаллическое тело, состоящее из "частиц" и "прослоек", находящееся при таких температурах и условиях нагружения, когда его необратимая деформация происходит преимущественно за счет смещения кристаллических зерен относительно друг друга. Эти зерна являются частицами модели, а среда в области контакта представляет собой материал "прослоек". Необратимая деформация поликристалла может быть результатом деформирования плоскостей раздела внутри зерен и соответствующих скольжений одних частей кристаллической решетки относительно соседних в направлении выравнивания напряжений в каждой точке макроскопически сплошного тела. Роль прослоек играют дислокации, находящиеся внутри зерен в областях контакта плоскостей скольжения; микрочастицы - части решетки, смещающиеся по плоскостям относительно друг друга. Необратимая деформация поликристалла может быть одновременно результатом внутризерновых перегруппировок атомов, обуславливающих сдвижение частей зерен относительно друг друга и межзерновых перемещений, приводящих к сдвижениям зерен в целом. Для полноты обозрения рассматриваются различные состав и строение самих зерен материала, которые характеризуются различной энергией вырывания молекул и атомов.

Использование теории /22/ долгое время оставалось затруднительным из-за большого числа трудно определимых физических констант, которые входили в уравнение движения, получаемые на основе физических предпосылок. В работе Левшина А.Л., Ратниковой Л.И. и Сакс М.В. /23/ выведены простые расчетные формулы для тела Гуревича /22/, позволяющие прогнозировать скорости и поглощение как функции частоты.

Согласно работам /21, 23/, при малых касательных напряжениях полная сдвиговая деформация, например,  есть сумма упругой и упруго релаксационной деформаций:

Причём  обладает непрерывным спектром времен релаксации  с ядром 1/

 .

В реальных средах соотношение для верхней и нижней границ времени релаксации имеет вид а  подчиняется уравнению состояния типа Кельвина-Фойгта

                       (1.43)

где  - гуковский модуль сдвига;

 - упруго-релаксационный модуль.

Аналогичные формулы имеют место для полной дилатации  В соотношение (1.43) для диллатации вместо  и  входят К и  - гуковский и релаксационный модули сжатия. Интегрирование формулы (1.43) для скорости полной деформации  и аналогичного уравнения для скорости полной дилатации  приводит к следующему виду для выражений, связывающих деформации и напряжения.

                   (1.44)

где

,

Рассмотрим как в работе /24/ получены выражения для дисперсии декремента затухания и фазовой скорости на примере поперечных волн. Если продолжить спектр времен релаксации в формуле (1.44) до , учитывая при этом, что  и подставить уравнение движения

В формуле (1.44) , то получается одномерное волновое уравнение в перемещениях

                  (1.45)

Решение ищется в вид

,                                                    (1.46)

тогда для уравнения (1.45) имеем

                                                                      (1.47)

где

,

Поскольку фазовая скорость  и декремент затухания  плоской гармонической волны связаны с комплексным волновым числом соотношением

                                                             (1.48)

то используя формулу (1.47) можно получить зависимости  и . Аналогично можно получить выражения для  и  Для упрощения получающихся сложных выражений приняты следующие допущения:

·  диапазон времен релаксации достаточно широк:

·        гуковский и упруго-релаксационный коэффициенты Пуассона положительны и удовлетворяют соотношениям

·        релаксационные соотношения при объемном сжатии выражены в горных породах слабее, чем при сдвиге:

·        используется упрощение:

;

·  частотный диапазон ограничен следующим образом: для пород с

для очень "мягких" пород  диапазон более узкий

Точность такого приближения - 97%. Исходя из приведенных выше допущений получены зависимости скоростей и декрементов поглощения

                                                    (1.49)

если известны их значения на опорной частоте

До сих пор мы рассматривали волны, получающиеся в результате решение одномерного волнового уравнения. Рассмотрим обобщенные волны имеющие место, когда в среде присутствуют обменные волновые эффекты. Если сейсмическая волна распространяется в плоскости ХOZ декартовой системы координат под углом r к оси OZ, волновое число в случае решения двумерной задачи, представляется в виде , где  - направление максимального затухания,  - направление распространения волны. В этом случае решение представляется в виде

                                               (1.50)

где - начальная и текущая амплитуды колебаний.

При подстановке условия (1.50) в двумерное волновое уравнение типа (1.47) для комплексного волнового числа  получаем

, .                                   (1.51)