Материал: elem_teor_polia

(24)

Здесь .

Так как выбор начальной точки произволен, потенциал поля определяется с точностью до произвольной постоянной, которая определяется физическими соображениями.

Пример 10. Выяснить, является ли потенциальным векторное поле и найти, если возможно, его потенциал.

Решение. Найдем ротор векторного поля:

Так как ротор векторного поля равен нулю, поле является потенциальным. Найдем потенциал векторного поля по формуле (24), выбрав в качестве начальной точки начало координат, положив

Замечание об определении векторных полей

Во многих технических проблемах часто встречаются задачи об определении векторного поля по заданному ротору и дивергенции этого поля. В курсе математической физики доказана теорема:

Векторное поле однозначно определено внутри некоторой области, ограниченной замкнутой поверхностью, если заданы ротор и дивергенция поля внутри области, а на ее границе задана нормальная составляющая вектора вихревой части.

В соответствии с этой теоремой любое векторное поле может быть представлено в виде суммы вихревой и потенциальных частей.

Гармоническое поле

Векторное поле называется гармоническим, если оно является одновременно потенциальным и соленоидальным.

Для гармонического векторного поля, согласно определению, выполняется , .

Примером гармонического поля является поле линейных скоростей стационарного потенциального потока жидкости при отсутствии в нем источников и стоков.

Потенциал гармонического поля удовлетворяет уравнению Лапласа и является гармонической функцией. В самом деле, так как гармоническое поле является и потенциальным, существует его потенциал , допускающий представление . Так как поле одновременно и соленоидальное, то .

Последнее равенство можно переписать, используя оператор Лапласа

Потенциал гармонического поля является гармонической функцией.

Задачи для самостоятельного решения

1. Построить линии уровня плоского скалярного поля, определяемого функцией , соответствующие значениям .

2. Построить линии уровня плоского скалярного поля, определяемого функцией , соответствующие значениям ,

3. Построить линии уровня плоского скалярного поля, определяемого функцией , соответствующие значениям .

4. Построить линии уровня плоского скалярного поля, определяемого функцией , соответствующие значениям ,

5. Найти поверхности уровня потенциала электростатического поля точечного заряда, где е – величина заряда, r – расстояние от точки М до точки, где находится электрический заряд.

6. Найти производную скалярного поля, заданного функцией в точке в направлении биссектрисы первого координатного угла.

Ответ: 15 .

7. Найти производную скалярного поля, заданного функцией в точке по направлению вектора .

Ответ: 0.

8. Найти производную скалярного поля, заданного функцией по направлению вектора в точках .

Ответ: −1; 0.

9. Найти производную скалярного поля, заданного функцией по направлению вектора в точке , если координаты точки .

Ответ: 4.

10. Найти градиент скалярного поля в точке .

Ответ: (1;1;2).

11. Найти направление, в котором скалярное поле в точке имеет наибольший рост.

Ответ: (-5; 1; 3).

12. Найти наибольшую скорость возрастания функции в точке .

Ответ: 5.

13. Найти направление и наибольшую скорость возрастания скалярного поля, заданного функцией , в точке .

Ответ: 6.

14. Найти нормаль к поверхности уровня пространственного поля в точке .

Ответ: (1; −4; 4).

15. Задано векторное поле, описывающее движение точки в пространстве, имеет вид . Найти поле ускорения точки в пространстве. Вычислить его значение в момент времени .

Ответ: .

16. Векторное поле, описывающее движение точки в пространстве, имеет вид . Найти векторное поле, описывающее ускорения точки в пространстве. Вычислить его значение в момент времени .

Ответ: .

17. Дано векторное поле . Найти векторные линии поля.

Ответ: .

18. Дано векторное поле , где ‑ постоянная величина. Найти векторные линии поля.

Ответ: .

19. Найти дивергенцию векторного поля .

Ответ: .

20. Найти дивергенцию векторного поля .

Ответ: 0.

21. Вычислить ротор векторного поля в точке .

Ответ:

22. Вычислить ротор векторного поля в точке .

Ответ:

23. Выяснить, является векторное поле потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал .

Ответ: поле соленоидальное и потенциальное, .

24. Выяснить, является векторное поле потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал

Ответ: поле несоленоидальное и потенциальное, .

25. Выяснить, является векторное поле потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал .

Ответ: поле соленоидальное и потенциальное, .

26. Выяснить, является векторное поле потенциальным и соленоидальным, если . В случае потенциальности поля найти его потенциал .