Материал: elem_teor_polia

Градиент скалярного поля

Градиент (от лат. Gradiens − шагающий) − характеристика, показывающая направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Например, если взять высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать направление «в гору».

Градиент является векторной функцией, а величина, которую он характеризует, − функцией скалярной.

Используется понятие градиента различных физических полей, например, градиент концентрации − нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры − увеличение или уменьшение по направлению температуры среды и т.д.

Градиентом от функции в точке называется вектор, обозначаемый и определяемый формулой:

. (6)

Так как компоненты градиента являются частными производными, нетрудно получить следующие свойства градиента, которые вытекают из свойств операции дифференцирования:

(7)

.

Связь градиента и производной по направлению.

Физический смысл градиента

Используя формулы (4), (6), представим производную функции в точке по направлению в виде скалярного произведения градиента функции на единичный вектор :

(8)

.

Производная функции по направлению равна проекции вектора градиента функции на это направление.

Так как вектор − единичный, и , используя определение скалярного произведения формулу (8), преобразуем к виду:

. (9)

Здесь − угол между векторами и .

Из последнего равенства следует, что производная функции по направлению имеет наибольшую величину при , т.е. в направлении градиента функции. Отсюда вытекает физический смысл градиента функции. Величина максимальной скорости возрастания функции в данной точке равна

модулю градиента и определяется формулой:

. (10)

Пример 3. Найти наибольшую скорость возрастания функции в точке .

Решение. Наибольшая скорость возрастания функции есть модуль ее градиента. По формуле (4) имеем:

Найдем значение градиента функции в точке М:

Наибольшая скорость возрастания функции равна

.

Геометрический смысл градиента

Рассмотрим семейство линий уровня плоского скалярного поля (2).

Градиент функции в точке перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку, т.е. направлен по нормали к линии уровня.

В самом деле, дифференцируя равенство (2), получаем в точках линии уровня , тогда из формулы (9) следует, что .

Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности точки, то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъема в данной точке.

В случае пространственного поля градиент функции направлен по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания функции.

Оператор Гамильтона

Дифференциальные операции удобно представлять с помощью оператора Гамильтона или оператора «набла»:

. (11)

Оператор будем рассматривать как символический вектор с координатами , а операции с ним проводить по правилам векторной алгебры.

Если − скалярная функция, то действие оператора на эту функцию дает ее градиент:

.

Векторное поле

Если каждой точке пространства ставится в соответствие вектор , то говорят, что задано векторное поле.

Примерами векторных полей могут служить поле скоростей частиц движущейся жидкости, силовое поле, поле электрической напряженности, поле сил тяготения.

В декартовой системе координат векторное поле можно записать в виде:

. (12)

Скалярные функции однозначно определяют векторное поле. Векторное поле может быть плоским, в этом случае .

Пример 4. Найти векторное поле скоростей точек твердого тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью вокруг оси Оz.

Решение. Скорость точки равна векторному произведению − радиус-вектор точки вращающегося тела относительно какой-либо точки оси вращения. Примем эту неподвижную точку за начало координат.

Тогда

Геометрической характеристикой векторных полей являются векторные линии (линии тока), позволяющие наглядно представить векторные поля.

Векторные линии − кривые, в каждой точке которых вектор является касательным вектором. Для конкретных полей это понятие имеет ясный физический смысл. Например, в поле скоростей текущей жидкости векторными линиями будут линии, по которым движутся частицы жидкости (линии тока), для магнитного поля векторными линиями будут силовые линии, проходящие из северного полюса в южный. Через каждую точку проходит одна линия тока. В декартовых координатах дифференциальные уравнения векторных линий имеют вид:

. (13)

Пример 5. Найти векторные линии поля линейных скоростей тела, вращающегося с постоянной скоростью вокруг оси Оz.

Данное поле определено вектором (см. предыдущий пример). По формуле (13) имеем:

, отсюда

Интегрируя, получим:

Векторными линиями поля скоростей точек тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью вокруг оси Oz, являются окружности с центрами на этой оси. Они лежат в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения.

Поток векторного поля

Пусть задано векторное поле формулой (12). Для наглядности будем считать его полем скоростей потока жидкости. Рассмотрим ориентированную поверхность S с нормалью , находящуюся в потоке и пропускающую жидкость. Выясним, какое количество жидкости протекает через поверхность S.

Разобьем поверхность S на элементарные площадки , выберем на каждой точку − нормаль к площадке в этой точке. Будем приближенно считать каждую площадку плоской, а вектор − постоянным по модулю и одинаково направленным в каждой точке площадки. Общее количество жидкости, протекающее через всю поверхность S за единицу времени, найдем, вычислив сумму

.

Точное значение получим предельным переходом суммы при неограниченном увеличении числа элементарных площадок и стремлении к нулю их диаметров:

.

Независимо от физического смысла вектора полученный интеграл называется потоком векторного поля.

Потоком векторного поля через ориентированную поверхность S называется поверхностный интеграл 1-го рода по площади поверхности:

. (14)

Выражая скалярное произведение через координаты векторов, получаем другую форму записи:

. (15)

Используя связь поверхностных интегралов первого и второго рода, поток векторного поля можно записать в координатной форме:

. (16)

Отметим, что поток векторного поля есть величина скалярная. Его величина равна объему жидкости, которая протекает через поверхность за единицу времени. В этом состоит физический смысл потока поля.

Рис. 2

Особый интерес вызывает случай замкнутой поверхности S, ограничивающей объем V. В этом случае внешнюю нормаль к поверхности S берут за положительное направление нормали и говорят о потоке изнутри поверхности. Величина потока дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области V и втекающей в нее за единицу времени. При этом, если значение потока положительно, , то из области V вытекает больше жидкости, чем в нее втекает, т. е. внутри области имеются дополнительные источники. Если значение потока отрицательно, , то внутри области V имеются стоки, поглощающее жидкость. При в области отсутствуют источники, либо они компенсированы стоками.

Пример 6. Найти поток радиус-вектора через внешнюю сторону поверхности прямого конуса с вершиной в начале координат. Высота конуса Н , радиус основания конуса R.

Решение. В соответствии с формулой (14) найдем поток: