Материал: Экзамен - Пример билета с решением

Решение

начинаем думать

1. это числовой ряд с положительными членами,

НЕЛЬЗЯ говорить «положительный ряд»

2. «плохое» у этого ряда это , но при аргумент тангенса стремится к нулю

по таблице эквивалентности

таблицу эквивалентностей бесконечно малых функций нужно выучить или печалька((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((

пробуем предельный признак сравнения

для сравнения нам нужен ряд

сходимость которого можно узнать если сравним его с рядом

3.следовательно применяем предельный признак сравнения, сравниваем

ряды ведут себя одинаково и в нашем случае сходятся

начинаем думать

1. это числовой знакочередующийся ряд

НЕЛЬЗЯ к этому ряду применять признаки сходимости для рядов с положительными членами

2. составим ряд из модулей и оценим его сходимость

пробуем предельный признак сравнения, для сравнения нам нужен ряд

3. следовательно, применяем предельный признак сравнения

ряды ведут себя одинаково и в нашем случае сходятся

т.е. ряд из модулей сходится и следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

( по теореме: если сходится ряд составленный из модулей , причем абсолютно.)

Теорему лучше выучить

начинаем думать

1. это степенной ряд, для нахождения области сходимости воспользуемся признаком Даламбера ( для числового ряда с положительными членами), поэтому появляются модули.

так как мы ищем область сходимости степенного ряда, т. е. такие значения при которых ряд сходится, по признаку Даламбера получаем

таким образом, получаем, что радиус сходимости равен 5

2. осталось проверить ряд на сходимость в концах области или в точках

при получаем числовой ряд с положительными членами

при получаем числовой знакочередующийся ряд

начнем с числовой ряд с положительными членами

ряды ведут себя одинаково и в нашем случае расходятся

Рассмотрим знакочередующийся ряд, получаемый из степенного ряда при

Проверим абсолютную сходимость данного знакочередующегося ряда. Для этого составим ряд из модулей

про этот ряд мы знаем, что он расходится, следовательно у знакочередующегося ряда

нет абсолютной сходимости.

Исследуем, сходится ли данный ряд условно, для этого применим признак Лейбница, проверяем выполнение двух условий:

следовательно, по признаку Лейбница ряд сходится. Учитывая, что ряд из модулей расходится, то знакочередующийся ряд, получаемый из степенного ряда при

начинаем думать

1.

значит нужно получить ряд и в степенях которого, присутствует

Сделаем замену

Для функции воспользуемся разложением в рад Маклорена

Разложение функций

в ряд Маклорена все таки стоит выучить

в роли «y» возьмем комплекс

Найдем область сходимости данного ряда

учитывая, что

получим

Сделаем замену , получим уравнение

Находим его корни , уравнение распалось на два уравнения

Решаем каждое уравнение:

Необходимо выучить функцию: логарифм от комплексного числа

Знать все три вида записи этой функции

Учитывая, что преобразуем функцию к виду

Выделим действительную часть и мнимую часть функции .

Обратим внимание, что функции являются действительными функциями от двух переменных