Материал: Экспериментальные методы исследований. Калинин Ю.Е

поддерживать постоянной (рис. 5.18). Для того, чтобы поддерживать деформацию неизменной, т.е. иметь = соnst, в процессе опыта необходимо снижать напряжение. Скорость уменьшения напряжения будет тем больше, чем больше приложенное напряжение отличается от равновесного значения к. Этот процесс можно записать следующим образом:

Посмотрим, какие изменения происходят с напряжением и деформацией в процессе достижения равновесного значения, т.е. релаксации.

Здесь , имеющая размерность времени, называется временем релаксации напряжения при постоянной деформации. Зависимость между напряжением и деформацией дается диаграммой на рис. 5.19. Видно, что и в данном случае следует различать два модуля упругости – релаксированный и нерелаксированный.

Учитывая, что конечные значения напряжения и деформации пропорциональны друг другу, можно записать обычный закон Гука

Из уравнения (5.31) и (5.32) выражаем к и к:

Подставляя значения к и к в уравнение (5.33), получаем уравнение релаксации

261

кривой напряжения (см. рис.5.20, а). За период колебания кривая напряжение-деформация описывает некоторую петлю

(рис. 5.20, б).

t

Рис. 5.20. а - графическое изображение кривых напряжения и деформации в зависимости от времени при наличии релаксационного процесса;

б - петля гистерезиса, возникающая при циклическом нагружении твердого тела

Поведение материала при действии переменной нагрузки характеризуют две величины: угол сдвига фаз между напряжением и деформацией и средний наклон оси петли - , отвечающий динамическому модулю упругости (Мд). Угол сдвига фаз непосредственно связан с потерей энергии при деформировании за цикл, т.е. с площадью петли

-.

263

В зависимости от частоты деформирования угол сдвига фаз между напряжением и деформацией будет меняться. При малой частоте релаксационный процесс успевает пройти (изотермический случай) и потери энергии за цикл окажутся незначительными. Динамический модуль в этом случае приближается к релаксированному.

При высоких частотах приложенных колебаний, когда времена релаксации значительно больше, чем период колебания циклического напряжения (адиабатический случай), дополнительная деформация не успевает возникнуть и динамический модуль стремится к нерелаксированному. При совпадении периода колебаний со временем протекания релаксационного процесса наблюдается максимальная площадь петли механического гистерезиса и возникают наибольшие потери.

Аналогичные закономерности можно получить аналитически. Будем считать, что напряжение и деформация являются периодическими функциями времени, т.е.

находим комплексный модуль Мк

264

Внутреннее трение и динамический модуль можно найти следующим образом. Тангенс угла сдвига фаз между напряжением и деформацией определяется отношением мнимой и вещественной частей комплексного модуля. Для этого комплексный модуль нужно выразить таким образом, чтобы выделить вещественную и мнимую часть. С этой целью выражение для комплексного модуля умножим и разделим на

Динамический модуль Мд можно получить путем умножения и деления величины комплексного модуля на сопряженное число (1-i ):