Материал: e31
Следовательно, вытекает условие
l = |
nλ |
, (n =1,2,3...), |
(11) |
|
|||
2 |
|
|
|
где l – длина шнура (струны), n – число пучностей на длине струны. Из уравнения (11) получим формулу для длины волны:
λ = |
2l |
. |
|
(12) |
|
|
|
||||
Фазовая скорость волны |
|
n |
|
||
|
|
|
|
(13) |
|
V = λν, |
|||||
где ν − частота колебаний. |
|
|
|
|
|
Уравнение (13) с учётом (12) представим в виде |
|
||||
V = |
|
2lν |
. |
(14) |
|
|
|
||||
|
|
n |
|
||
Известно [1], что для неограниченной среды скорость распространения поперечной волны в твёрдом теле определяется уравнением
V = |
G |
, |
(15) |
|
ρ |
|
|
где G −модуль сдвига,
ρ −объёмная плотность материала среды.
Для натянутого шнура скорость распространения поперечной волны может быть найдена из уравнения (15). Необходимо только установить, какая величина в этом случае играет роль модуля сдвига.
Предположим, что деформации натянутого шнура, связанные с поперечными колебаниями, малы. Следовательно, при малых колебаниях можно пренебречь изменениями величины силы натяжения T, возникающими в результате изгиба струны. При таком приближении силы натяжения T, действующие на концы выделенного участка АВ шнура вдоль его оси (рис. 2), равны друг другу.
При деформации сдвига, характеризующейся малым углом сдвига γ , составляющие сил T, касательные к основаниям участка АВ, равны
T sin γ ≈Tγ. |
|
|
|
(16) |
|
|
B |
Т |
|
|
|
|
|
|
A |
6 |
|
|
γ |
|
|
|||
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
Т
Рис. 2
Следовательно, величина касательного напряжения (напряжение численно равно отношению силы к площади поперечного сечения струны), действующего на основания рассматриваемого участка АВ, равно
τ = |
T |
γ, |
(17) |
|
S |
||||
|
|
|
где S - площадь поперечного сечения шнура.
Деформацию участка АВ можно рассматривать как его сдвиг под действием касательных напряжений.
Касательное напряжение связано с модулем сдвига соотношением
τ =Gγ . |
(18) |
||
Сопоставление (17) и (18) приводит к выражению |
|
||
G = |
T |
. |
(19) |
|
|||
|
S |
|
|
Подставляя (19) в (15), получим для скорости распространения бегущей волны в натянутом шнуре
V = |
T . |
(20) |
|
Sρ |
|
Учитывая (13), из соотношения (20) величина объёмной плотности шнура
ρ = |
|
4T |
|
, |
(21) |
λν πd |
2 |
||||
|
2 |
2 |
|
|
|
где d – диаметр шнура.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА
Схема экспериментальной установки представлена на рис. 3. На нижний конец вертикально натянутого шнура подвешены подвес А и чашка Р для гирь. Верхний конец шнура прикреплён к языку
7
Рис. 3
электромагнитного вибратора, служащего для возбуждения колебаний в шнуре. Установка снабжена шкалой В, которая может быть использована для измерения длины волны.
Если к электромагнитному вибратору подключить звуковой генератор (ЗГ), то от вибратора по шнуру будет распространяться поперечная волна – прямая волна. Эта волна отражается от конца шнура и образуется обратная волна. В результате наложения прямой и обратной волны в соответствии с (12) при определённых частотах ЗГ образуется стоячая волна. При изменении частоты ЗГ (при неизменной скорости распространения волны V) частота колебаний ν , длина волны λ и число пучностей n стоячей волны, согласно (12) и (13), изменятся.
Искажения стоячих волн бегущей волной проявляются в размытии узла стоячей волны. Эти искажения несущественны, если потери энергии (трение о воздух, потери энергии через концы шнура и т.д.) за период малы по сравнению с запасом колебательной энергии в шнуре. Это условие имеет вид
А2 |
<< y02, |
(22) |
где А - амплитуда бегущей волны, |
|
|
y0 - амплитуда стоячей |
волны, определённая |
в пучности, |
примыкающей к узлу. |
|
|
Если при проведении эксперимента условие (22) выполняется недостаточно хорошо, необходимо уменьшить выходную мощность ЗГ. Для выполнения работы используются две экспериментальные установки, на одной из которых стоячие волны возбуждаются в гибком шнуре, а на другой – в струне.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
8
1.Собрать электрическую цепь (выводы вибратора присоединить к клеммам выхода ЗГ).
2.Прикрепить к нижнему крючку нити чашку с первоначальным весом
≈ 1 Н. (Сила натяжения шнура равна общему весу подвеса, чашки и гирь. Общая масса подвеса и чашки указана на установке).
3. Включить ЗГ в сеть. Тумблер «сеть» ЗГ переключить в положение «вкл». Установить по шкале вольтметра ЗГ максимальное напряжение. Переключатель частот установить в положение 1. Ручку лимба «Частота генератора» повернуть против часовой стрелки до упора.
А Дальнейший порядок выполнения работы на установке с гибким шнуром
4. Вращая ручку лимба ЗГ, добиться образования в шнуре стоячей волны с n=1 (с одной пучностью). Значение силы натяжения, частоты ЗГ, при которой в шнуре возбуждается стоячая волна, длины шнура l занести в таблицу 1. Определить длину волны по формуле (12) при n=1.
Таблица 1
№ |
Масса |
Сила |
Число |
Длина |
Длина |
Частота |
Скорость |
Плот- |
опы |
груза – |
натяже |
пучнос- |
шнура |
волны |
ν, Гц |
V, м/с |
ность – |
та |
m, кг |
ния – |
тей – |
(струны) |
λ, м |
|
|
ρ , |
|
|
Т, Н |
n |
l, м |
|
|
|
кг/м3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.Увеличивая частоту ЗГ, получить при той же силе натяжения стоячие волны с n>1 пучностями (сколько позволит установка). Значения частоты ЗГ занести в таблицу 1. Определить длину волны по формуле
(12) при n>1.
6.Аналогичные опыты выполнить, увеличивая массу гирь. Результаты измерений занести в таблицу 1.
7.Измерить диаметр шнура штангенциркулем.
9
8.По формулам (13) и (21) вычислить для всех измерений величины скорости распространения бегущей волны в натянутом шнуре и объёмной плотности шнура.
9.Найти средние значения скорости распространения бегущей волны в натянутом шнуре и объёмной плотности шнура.
10.Вычислить абсолютную и относительную погрешности измерений скорости распространения бегущей волны в натянутом шнуре и объёмной плотности шнура.
11.Записать окончательные результаты.
12.Построить график зависимости квадрата скорости (V 2 ) распространения бегущей волны в натянутом шнуре от силы натяжения (T ) шнура.
Из уравнения (20) следует, |
что |
зависимость |
V 2 = |
1 |
T |
- линейная. |
|||||
Sρ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тангенс угла наклона прямой |
tgα = |
1 |
|
. Вычислить объёмную плотность |
|||||||
Sρ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
шнура по формуле |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
ρ = |
|
|
|
|
|
|
(23). |
|||
|
|
Stgα |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
13. Сравнить результаты вычислений объёмной плотности шнура по формулам (21) и (23).
Б Порядок выполнения работы на установке со струной
Измерения и расчёты выполняются так же, как и при выполнении работ на установке с гибким шнуром (пп. 1-8).
В п. 6 измерения выполнить при увеличении силы натяжения струны, изменяя массу гирь на 100, 200, 300, 400 г. Масса чашки и подвеса ~ 50 г указана на установке.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Какой процесс называется волновым процессом (упругой волной)?
2.В какой среде могут распространяться продольные волны?
3.Какая волна называется стоячей волной? Чем она отличается от бегущей волны?
4.Какие точки называются узлами, пучностями стоячей волны?
10