Материал: e31
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра теоретической и экспериментальной физики
УТВЕРЖДАЮ Декан ЕНМФ
__________Ю.И. Тюрин «___»___________2005 г.
ИЗУЧЕНИЕ СТОЯЧИХ ВОЛН В НАТЯНУТОМ ШНУРЕ (СТРУНЕ)
Методические указания к выполнению лабораторной работы Э-31 по курсу «Общая физика» для студентов всех специальностей
Томск-2006
УДК 53.01
Изучение стоячих волн в натянутом шнуре (струне):
Методические указания к выполнению лабораторной работы Э-31 по курсу общей физики для студентов всех специальностей. – Томск:
Изд-во ТПУ, 2005. – 12 с.
Составители: к. ф.-м. н., доцент Ю.А. Сивов к. ф.-м. н., доцент С.И. Твердохлебов
Рецензент |
к. ф.-м. н., доцент Н.С. Кравченко |
Методические указания рассмотрены и рекомендованы методическим семинаром кафедры теоретической и экспериментальной физики
«___»___________2004 г.
Зав. Кафедрой, проф., док., физ. - мат., наук В.Ф. Пичугин
Одобрено учебно-методической комиссией ЕНМФ
Председатель |
|
учебно-методической комиссии |
Г.В. Ерофеева |
2
ИЗУЧЕНИЕ СТОЯЧИХ ВОЛН В НАТЯНУТОМ ШНУРЕ (СТРУНЕ)
Цель работы: изучение стоячих волн, определение скорости распространения волны в натянутом шнуре (или струне), определение объёмной плотности шнура (струны).
Приборы и принадлежности: звуковой генератор; экспериментальная установка с вертикально натянутым шнуром (струной), снабжённая шкалой; набор грузов, штангенциркуль.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Процесс распространения колебаний в упругой среде называется
волновым процессом (упругой волной).
Упругая волна называется продольной, если частицы среды совершают колебания в направлении скорости распространения волны. Продольные волны обусловлены объёмной деформацией упругой среды (сжатие и растяжение) и поэтому могут распространяться в любой среде
– газообразной, жидкой и твёрдой.
Если частица среды совершает колебания в направлении, перпендикулярном скорости распространения волны, волна называется поперечной. Поперечные волны обусловлены упругой деформацией сдвига и, следовательно, могут распространяться только в средах, обладающих упругостью формы, т.е. в твёрдых телах.
Волна, переносящая энергию колебаний в пространстве, называется бегущей волной. При сложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу, возникает стоячая волна. Так как стоячая волна является результатом сложения двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях, то при равенстве амплитуд волн поток энергии, переносимый в одном направлении, равен потоку энергии, переносимому в противоположном направлении. Результирующий поток энергии равен нулю, т.е. стоячие волны не переносят энергию. В силу этой особенности они и получили своё название. На опыте стоячая волна возникает, если на пути бегущей (прямой) волны перпендикулярно к направлению распространения поставить хорошо отражающую преграду. Падающая на преграду волна (прямая) и бегущая ей навстречу отражённая (обратная) волна интерферируют и образуют стоячую волну.
3
Получим уравнение одномерной стоячей волны. Поскольку каждая точка среды одновременно участвует в двух колебаниях, то результирующее смещение Y(x,t) точек среды с координатой x в момент времени t можно найти путём алгебраического сложения смещений, т.к. они происходят вдоль одной и той же прямой. Для простоты рассмотрим случай, когда прямая и встречная волны имеют одинаковую амплитуду A. Пусть уравнение прямой волны, распространяющейся в положительном направлении оси X, имеет вид
|
Y1 (x,t) = Acos(ωt −kx +α1 ) , |
(1) |
|
а уравнение обратной волны |
|
|
|
где α1, α2 - |
Y2 (x, t) = A cos(ωt + kx +α2 ) , |
(2) |
|
начальные фазы, k – |
волновое число, ω – |
циклическая |
|
частота. |
|
|
|
Сложив |
левые и правые |
части уравнений |
(1), (2) и |
воспользовавшись формулой для суммы косинусов, получим для результирующего смещения (уравнения стоячей волны)
Y (x,t) = 2Acos(kx + |
α2 mα1 |
)cos(ωt + |
α2 ±α1 |
) . |
(3) |
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
x |
|||
Для упрощения уравнения (3) выберем начало отсчёта координаты |
||||||
так, чтобы разность начальных фаз α2-α1 стала равной нулю, а начало отсчёта времени t таким, чтобы оказалась равной нулю сумма α2 + α1 .
Если учесть, что волновое число k=2π/λ, где λ - |
длина волны, то |
||
уравнение (3) примет вид |
|
|
|
Y (x,t) = 2Acos( |
2π |
x)cos(ωt) . |
(4) |
|
|||
|
λ |
|
|
Согласно (4), колебание в каждой точке стоячей волны происходит с циклической частотой ω бегущей волны. По аналогии с бегущей волной в уравнении (4) стоячей волны модуль множителя, стоящего перед cos(ωt)
2A cos |
2π |
x |
(5) |
λ |
является амплитудой результирующего колебания. Из (5) видно, что амплитуда одномерной стоячей волны является периодической функцией, зависящей от координаты x колеблющейся точки.
В точках среды, где
4
2π |
x = mπ, (m = 0,1,2,3...) |
(6) |
|
||
λ |
|
|
амплитуда колебаний достигает максимального значения равного 2A.Такие точки называются пучностями стоячей волны.
В точках среды, где
2π |
x = (2m +1) |
π |
, (m = 0,1,2,3...) |
(7) |
|
2 |
|||
λ |
|
|
||
амплитуда колебаний обращается в ноль. Такие точки называются узлами стоячей волны.
Из выражений (6) и (7) следуют координаты пучностей и узлов:
xпучн = ±2m |
λ |
= ± |
mλ |
, (m =1,2,3...) , |
(8) |
||||
4 |
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
xузла = ±(2m +1) |
λ |
= ±( |
2m +1 |
) |
λ |
, (m = 0,1,2,3...) . |
(9) |
||
4 |
|
2 |
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
Из соотношений (8) и (9) можно получить, что расстояние между двумя соседними узлами и между двумя соседними пучностями одинаковы и
равны половине длины волны
∆x = |
λ. |
(10) |
|
2 |
|
Если стоячая волна возникает в закреплённом с обоих концов натянутом шнуре (струне), то в местах закрепления шнура могут располагаться только узлы стоячей волны. Поэтому в нём возбуждаются только такие колебания, у которых половина длины волны укладывается на длине шнура целое число раз (рис. 1).
l
x
Рис. 1
5