Материал: e15a
наименьшим. Запишем уравнение колебаний стрелки и найдем связь напряженности
магнитного поля НГ с периодами Т0 и ТГ.
Пусть prm - вектор магнитного момента стрелки, направленный от ее южного
магнитного полюса к северному магнитному полюсу, а Jz – момент инерции магнитной стрелки относительно вертикальной оси z. При отклонении стрелки от магнитного
меридиана на угол ϕ (псевдовектор угла ϕ направлен по правилу правого винта) на нее со |
|||||||||
стороны магнитного |
поля |
r |
|
|
r |
r |
r |
|
] . |
B |
p |
будет действовать вращательный момент M = [ p ЧB |
p |
||||||
|
prm и |
Brp |
|
|
m |
|
|
||
Поскольку вектора |
|
лежат в горизонтальной плоскости (x,y), то вектор |
|
M |
|||||
направлен вдоль вертикальной оси, а его проекция на ось z |
равна Mz = -pm Bp sinϕ . |
Знак |
|||||||
минус связан с тем, что направления M и ϕ всегда противоположны. При движении стрелки |
|||||||||
r |
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
на нее, кроме M , действует вращательный момент Mтр = [RЧFтp ], созданный силой трения |
|||||||||
Frтp , приложенной к некоторой точке стрелки с радиус-вектором R . Сила трения направлена |
|||||||||
против движения стрелки и пропорциональна угловой скорости вращения ω: |
Fтp = −r ω , |
||||||||
где r – угловой коэффициент сопротивления. На рис.4 показана ориентация векторов для
момента времени, когда |
стрелка возвращается к положению |
равновесия |
(угол ϕ |
||||||
уменьшается, угловая скорость ω увеличивается). |
|
|
|
r |
z равна |
||||
Проекция вектора |
Mтр на ось |
||||||||
|
|
|
z |
M z,тр |
= −ηω = −η |
dϕ |
, где η = rR |
|
|
M |
|
||||||||
|
|
||||||||
|
|
|
dt |
|
|
||||
|
|
|
|
Уравнение |
вращательного |
движения |
магнитной |
||
|
|
|
|
стрелки вокруг оси z имеет вид |
|
|
|||
|
ω |
Bp S |
|
|
|
|
|
|
|
M z + M z,тр = Jzεz |
|
|
|
|
|||||
|
ε |
ϕ |
pm |
|
где |
εz |
|
– |
проекция |
углового |
ускорения |
на ось |
z. |
||||||
|
. |
N |
|
Подставляя введенные величины, получаем |
|
|
|||||||||||||
S |
|
|
−p |
|
µ |
(H |
|
+ H |
|
)sinϕ −η dϕ |
= J |
|
2 |
(1) |
|
||||
|
|
|
y |
m |
Г |
c |
z |
d ϕ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
dt |
|
dt2 |
|
|
||||
|
|
ϕ |
|
|
Считая угол отклонения магнитной стрелки от |
||||||||||||||
x |
|
|
|
магнитного |
меридиана |
ϕ |
малым, можем |
заменить |
|||||||||||
|
Mтр |
|
|
sin ϕ ≈ϕ и привести уравнение (1) к стандартному виду |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
d 2ϕ |
+2δ |
dϕ |
2 |
(2) |
dt2 |
dt |
+Ω ϕ = 0 |
||
|
0 |
|
где δ = |
η |
– декремент затухания, Ω02 = |
pm µ0 (H Г + Hc ) |
, |
2Jz |
|
|||
|
|
Jz |
||
Ω0 - частота незатухающих колебаний стрелки. Решением уравнения (2) является затухающее колебание вида
ϕ(t) =ϕ0 cos(Ωt)e−δt |
(3) |
где ϕ0 - угол отклонения стрелки в начальный момент времени, Ω = |
Ω02 −δ2 - частота |
затухающих колебаний, ей отвечает период |
|
6
T = |
2π |
= |
|
|
2π |
(4) |
|
Ω |
|
pm µ0 |
(HГ + Hc ) |
−δ2 |
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Jz |
|
|
Пусть в результате измерений были найдены периоды колебаний магнитной стрелки: 1) в отсутствии тока
T 0 =T (I = 0) = |
2π = |
|
2π |
|
, |
|
|
|
|
||||
|
Ω0 |
pm µ0 H |
Г |
−δ2 |
||
|
|
|
Jz |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2) с током I, при котором направления магнитных полей BГ и Bc совпадают
T + =T (I) = |
|
|
2π |
|
, |
|||
|
µ |
(H |
|
+nI) |
|
|||
|
|
p |
Г |
−δ2 |
||||
|
|
m |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
Jz |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
3)с током противоположного направления -I, когда магнитные поля BГ и Bc направлены против друг друга
T − =T (-I) = |
|
|
2π |
|
|
|
|
|
µ |
(nI −H |
Г |
) |
−δ2 |
||
|
|
p |
|||||
|
|
m |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
Jz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим отношения квадратов этих периодов, считая что магнитное поле соленоида больше горизонтальной составляющей магнитного поля Земли Нс > НГ , тогда T 0 >T − >T +
T 0 2 |
= |
|
nI + |
HГ − Hδ |
; |
|
T 0 2 |
= |
nI - |
HГ −Hδ |
(5) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
+ |
|
|
|
|
H |
Г −Hδ |
|
|
|
− |
|
H |
Г − Hδ |
||||||||||||
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
||||||||||
где |
Hδ |
= |
|
Jzδ2 |
|
- некоторое эффективное магнитное поле, характеризующее свойства |
||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
µ |
0 |
p |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
магнитной стрелки и связанное с затуханием ее колебаний. |
|
|||||||||||||||||||||||||
Исключая Hδ |
из (5), получаем формулу для определения НГ |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 2 |
|
0 2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
+ |
− T |
− |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
HГ = Hc |
T |
|
T |
|
|
|
|
, |
Нс = nI , |
(6) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 T |
+ −1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя НГ в (5) находим формулу для эффективного магнитного поля
7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Hδ = H |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г 1 |
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
||
T o |
2 |
T o |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
+ |
|
− |
− |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
T |
|
|
|
|
Если затухание колебаний |
не |
велико, |
так |
что выполняются условия |
||||||
H Г >> Hδ , nI >> Hδ , то в (5) можно положить Hδ ≈ 0 и получить приближенную формулу для НГ
H%Г ≈ |
|
|
2Hc |
|
|
(8) |
|
|
0 |
2 |
|
0 |
2 |
||
|
T |
− |
|
+ T |
+ |
|
|
|
T |
|
|
T |
|
|
|
Формулы (2-8) получены в предположении малости угла отклонения стрелки от магнитного меридиана. Если ϕ > 30°, то колебания уже нельзя считать линейными, их частота и период начинают зависеть от амплитуды колебаний. Об этом говорят, что колебания теряют свою изохронность. Строгое решение задачи проводится с использованием асимптотических методов теории нелинейных колебаний. Оценить зависимость можно, учитывая следующие члены ряда в разложении
sinϕ ≈ϕ − |
ϕ3 |
=ϕ(1− |
ϕ2 ) . Возникающий множитель |
(1− |
ϕ2 ) приводит к уменьшению |
|
6 |
|
6 |
|
6 |
частоты незатухающих колебаний и ее зависимости от времени и амплитуды колебаний
% |
2 |
|
pm µ0 (HГ + Hc ) |
|
ϕ2 |
|
% |
|
2π |
|
Ω0 |
= |
Jz |
(1− |
6 |
) . Для угла ϕ |
~ 1 рад период T0 |
= |
% |
примерно на 10 % больше |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω0 |
|
||
периода T0 .
Чтобы уменьшить влияние нелинейных эффектов на величину рассчитываемого по формулам (6-8) магнитного поля НГ необходимо, чтобы периоды T%0 были примерно
одинаковыми во всех измерениях с разными значениями тока. Для этого нужно задавать одинаковое и возможно меньшее начальное отклонение магнитной стрелки ϕ0 в этих измерениях.
Для выполнения работы собирают цепь, принципиальная схема которой изображена на рис.5. Источником постоянного напряжения U выступает блок питания БП, ток в цепи измеряется миллиамперметром mА, направление тока в соленоиде C меняется с помощью переключателя П.
Рис. 5
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1.Установите ось обесточенного соленоида вдоль направления магнитной стрелки.
2.Отклоните стрелку из положения равновесия с помощью постоянного магнита. Затем
магнит уберите, стрелка начнет совершать колебания. Найдите период T 0 из колебаний стрелки. Повторите измерения 5 раз.
8
3. Включите блок питания. Установите ток I ~ 50 mA. Определите период колебаний стрелки T + так же, как в пункте 2. Если под влиянием постоянного магнита стрелка не обратила свое
направление на 180°, значит, магнитное поле соленоида Вс совпадает с горизонтальной составляющей магнитного поля Земли ВГ, иначе - эти поля направлены в противоположные стороны.
4. Измените направление тока I с помощью переключателя. Определите период колебаний стрелки T − .
5.Занесите данные всех измерений в таблицу.
6.По формуле (6) рассчитайте величину горизонтальной составляющей напряженности магнитного поля земли НГ.
7. Найдите среднее значение напряженности HГср и погрешность измерения ∆НГ.
8. Запишите конечный результат HГ = HГср ± ∆HГ .
9. По формуле (7) рассчитайте напряженность эффективного магнитного поля Hδ . Сравните его значение с магнитным полем Земли НГ и магнитным полем соленоида Нс. Рассчитайте H%Г по формуле (8). Сделайте вывод о роли трения стрелки об опору и сопротивления воздуха в процессе ее колебаний.
Таблица. Результаты измерений
|
N |
T 0 ,сек |
T + , сек |
T − , сек |
НГ, А/м |
Нδ, А/м |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
Средние |
|
|
|
|
|
|
|
значения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Как зависит от широты местности горизонтальная составляющая напряженности магнитного поля Земли ?
2.С какой целью меняют направление тока в соленоиде? Почему следует ориентировать ось соленоида в направлении магнитного меридиана ?
3.Как влияет трение стрелки об опору и сопротивление воздуха на колебания магнитной стрелки ?
4.Как влияют посторонние металлические предметы на точность измерения магнитного поля Земли ?
5.Что является источником магнитного поля Земли ?
6.Как меняется геомагнитное поле с течением времени ?
ЛИТЕРАТУРА
1.А.В. Кортнев, Ю.В. Рублев, А.Н. Куценко. Практикум по физике. Изд. "Высшая школа", М, I961.
2.Г.А. Зисман, О.Н. Тодес. Курс общей физики, т. П, физматгиз, 1969, § 33.
3.«Руководство к лабораторным занятиям по физике» Под редакцией Л.Л. Гольдина.
9
Изд. "Наука", М., 1964.
4.Н.Н.Боголюбов, Ю.А.Митропольский. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Изд-во физ.-мат. литературы. М. 1958.
10