Полный заряд на торце центральной жилы определяется путём интегрирования по соответствующей ему поверхности:
(25)
( - поверхность торца центральной жилы).
В силу азимутальной симметрии, имеем:
(26)
Внутри конденсатора электрическое поле можно представить в виде суперпозиции однородного радиального электрического поля , соответствующего (7), как для случая безграничных коаксиальных проводников и поправки , обусловленной краевым эффектом. В первом приближении силовые линии поля являются продолжением аксиального поля в плоскости раскрыва внутрь конденсатора: линии поля , имеющие начало на поверхности центрального проводника, соответствуют полю при r1<r<r*, линии , оканчивающиеся на поверхности внешнего цилиндра, соответствуют полю при r*<r<r2. Качественно структура силовых линий представлена на рис. 9. Пунктирной линией показана “нулевая” силовая линия, упирающаяся в точку r* в плоскости торца. Нахождение аналитического выражения для поля представляет собой довольно сложную задачу и в рамках данной работы не проводится.
Полю соответствует дополнительная плотность заряда на поверхности центрального проводника внутри конденсатора и, соответственно, дополнительный заряд :
(27)
где - боковая поверхность центрального проводника.
Рис. 9 Справа показана качественная картина силовых линий электрического поля внутри коаксиала, обусловленного краевым эффектом. Слева иллюстрируется Ez компонента электрического поля в плоскости раскрыва
Для нахождения рассмотрим область внутри конденсатора, содержащую силовые линии поля , оканчивающиеся на центральном проводнике, рис.9. Трубчатая поверхность , ограничивающая область V, состоит из поверхности , соответствующей “нулевым” силовым линиям поля , поверхностью центрального проводника и кольцом в плоскости раскрыва с внутренним радиусом r1 и внешним r*.
Для поверхности применим теорему Гаусса. Поскольку в области V отсутствуют заряды, поток вектора индукции поля через поверхность равен нулю:
(28)
В плоскости торца, в силу непрерывности нормальной компоненты индукции электрического поля получаем связь между и полем вне конденсатора:
(29)
На поверхности центрального проводника имеем:
(30)
Поток поля через поверхность равен нулю.
В соответствии с (29) и (30), учитывая азимутальную симметрию, перепишем (28) в виде:
(31)
Откуда с учётом (27) получаем
(32)
Таким образом, учёт краевого эффекта приводит к появлению дополнительного заряда на поверхности центрального проводника и на его торце, который определяет краевую ёмкость цилиндрического конденсатора:
(33)
Учитывая (26) и (32), получаем:
(34)
При наличии неоднородной составляющей комплексной диэлектрической проницаемости среды , в первом порядке теории возмущений для потенциала имеем:
(35)
с граничным условием
(36)
Правую часть уравнения (35) можно рассматривать в виде объёмной плотности заряда в полупространстве .
Плоскость торца конденсатора является эквипотенциальной поверхностью, которую можно заметализировать, и для нахождения воспользоваться методом электрических изображений.
(37)
- область, соответствующая безграничному пространству, занятого исследуемой средой, - объемная плотность зарядов изображения.
Поверхностная плотность заряда в плоскости торца связана с соотношением
(38)
Перейдя в интеграле (37) к цилиндрической системе координат, с учётом зеркальной симметрии объёмной плотности заряда относительно плоскости получаем:
(39)
(40)
В результате, согласно (34), (39) и (40), краевая ёмкость цилиндрического конденсатора в случае неоднородной среды определяется следующим соотношением:
(41)
Выражение (41) связывает зондирующую краевую емкость цилиндрического конденсатора с металлическим фланцем с неоднородной в пространстве комплексной диэлектрической проницаемости среды. Для системы резонансных датчиков с разными глубинами зондирования совокупность соответствующих выражений (41) представляет собой систему интегральных уравнений для нахождения электродинамических параметров неоднородного полупространства.
4. Выводы
Таким образом, в работе изучены особенности постановки обратной задачи резонансной ближнепольной СВЧ-томографии на примере ближнепольных зондов в виде краевой емкости цилиндрического конденсатора с металлическим фланцем. При такой диагностике источником информации о подповерхностной структуре среды являются результаты измерения импеданса набора зондов с разными масштабами локализации квазистатического электрического поля. В рамках борновского приближения получено интегральное уравнение, связывающее емкость зонда с пространственным распределением комплексной диэлектрической проницаемости неоднородного полупространства.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 15-47-02294-р_поволжье_а, грант № 16-02-00823.
Литература
1. М.И. Эпов, В.Л. Миронов, П.П. Бобров, И.В. Савин, А.В. Репин. Исследование диэлектрической проницаемости нефтесодержащих пород в диапазоне частот 0.05--16 ГГц // Геология и геофизика, 2009, т. 50, № 5. С. 613--618.
2. T Sunaga, H Ikehira, S Furukawa, H Shinkai, H Kobayashi, Y Matsumoto, E Yoshitome, T Obata, S Tanada, H Murata and Y Sasaki. Measurement of the electrical properties of human skin and the variation among subjects with certain skin conditions // Physics in Medicine and Biology. Volume 47, Number 1, 7 January 2002. P. N11-N15.7.
3. Д.В. Янин, А.В. Костров, А.И. Смирнов, М.Е. Гущин, С.В. Коробков, А.В. Стриковский, В.И. Гундорин, В.В. Назаров, М.В. Стародубцев. Диагностика параметров плазмы атмосферного давления методом ближнепольного СВЧ-зондирования // ЖТФ, 2012, том 82, вып. 4. С. 42-51
4. Янин Д.В., Галка А.Г., Костров А.В., Смирнов А.И., Стриковский А.В., Кузнецов И.В. Подповерхностная диагностика квазиодномерных неоднородностей методом резонансного ближнепольного СВЧ-зондирования // Известия вузов. Радиофизика. 2014. Т.57. №1. С. 35-47.
5. Д.В. Янин, А.Г. Галка, А.И. Смирнов, А.В. Костров, А.В. Стриковский. Резонансная ближнепольная СВЧ-диагностика неоднородных сред // Успехи прикладной физики. 2014. Т.2. №6. С. 555-570.