РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
Ордена Ленина Институт прикладной математики
им. М.В. Келдыша
Численное моделирование качественных особенностей распределений трехмерных полей в неоднородных подобластях электродинамического ускорителя
М.П. Галанин, С.С. Уразов
Москва - 2004
Аннотация
Методами вычислительного эксперимента исследованы качественные особенности распределений нестационарных трехмерных физических полей в канале электродинамического ускорителя типа рельсотрон. Рассмотрен вариант ускорителя, обладающий цилиндрической геометрией. Изучены особенности полей для трех вариантов геометрии ускоряемого якоря, включая случай неодносвязной проводящей части. Получена картина силового и температурного воздействия на различные участки ускоряемых макротел, обладающих физическими неоднородностями. Определены участки, подвергаемые наибольшему силовому воздействию, в которых возможно разрушение якоря. Проведено изучение влияния замыкания направляющих в передней части на распределение полей.
трехмерный физический поле ускоритель
M.P. Galanin, S.S. Urazov
The numerical simulation for qualitative particularities of distributions of the three - dimensional fields in nonhomogeneous subregions of electromagnetic launcher.
Abstract
The qualitative particularities of distributions of the nonstationary three - dimensional physical fields in the channel of electromagnetic launcher of railgun type have been explored by means of numerical experiment method. It was considered the variant of launcher, having cylindrical geometry. The particularities of fields for three variants of geometry of accelerated armature, including the case of non - one - connected conducting part, have been studied. The picture of power and heat influence on the different areas of accelerated armatures, having the physical nonhomogeneities, has been received. The areas, subjected to the most power influence, in which the armature destruction is possible, have been determined. The study of influence of the short circuit at the rails front part on the field distributions have been conducted.
Введение и постановка задачи
Целью работы является изучение качественных особенностей распределений пространственно трехмерных электромагнитных и силовых полей в ускорителе типа рельсотрон [1, 2] с проводящим якорем. Для этого выполнено математическое моделирование процесса электромагнитного разгона для трех вариантов геометрической конфигурации якоря.
Простейшая схема рельсотрона приведена на рис. 0.1.а (из [3]). Он состоит из внешней электрической цепи (не показана) и рельсов (в нашем случае двух), замыкаемых проводящим якорем. Рельсы также могут быть замкнутыми в передней части некоторым проводником, обладающим достаточно большим сопротивлением (по сравнению с сопротивлением якоря), образуя “muzzle - shunt” канал [3] (см. рис. 0.1.b).
Рис. 0.1. Принципиальная схема рельсотрона (из [3]): (a) - традиционная конструкция, (b) - рельсы замкнуты в передней части.
В работах [4 - 17] приведены некоторые варианты якоря для ускорителя цилиндрической геометрии. В [6] рассмотрен якорь, состоящий из проводящей части и нагрузки, расположенной в передней части якоря. Варианты размещения нагрузки приведены также в [9 - 11]. В [7, 8] рассмотрен якорь, состоящий из проводящей части, соединенной с диэлектрической частью из поликарбоната.
В данной работе рассмотрены следующие варианты конфигурации якорей: 1. якорь (конструкция аналогична [7]), состоящий из алюминиевой части, соединенной с диэлектрической (рис. 0.2) при помощи винта (винт - цилиндр наименьшего радиуса в центре); 2. 3. якорь, состоящий из двух проводящих частей (алюминиевой и стальной нагрузки). В одном случае алюминиевая часть касается стальной (рис. 0.4), в другом они отделены друг от друга диэлектриком (рис. 0.3). Варианты 2, 3 являются упрощением конструкции [6], в котором учтены некоторые элементы якорей [9 - 11, 15]). Во всех случаях материал направляющих - медь.
Основной целью расчетов является вычисление трехмерных (в силу существенной трехмерности конструкций) по пространству и нестационарных по времени электромагнитных полей в канале ускорителей, включая их распределение в направляющих, якоре и окружающем пространстве, а также расчет распределений силы Лоренца, действующей на различные элементы конструкции, и температуры. Для первого варианта якоря (рис. 0.2) наибольший интерес представляет определение плотности силы Лоренца в различных частях якоря, что позволяет определить участки, в которых возможно разрушение якоря при ускорении. Для второго и третьего вариантов якоря (рис. 0.3 - 0.4) главным предметом исследования является изучение влияние короткого замыкания на процесс ускорения. Распределение температурных и силовых полей в ускорителе также представляет интерес.
Схемы сечения рельсотрона (в декартовой системе координат) плоскостями y = const (слева) и z = const (справа).
Рис. 0.2. Первый вариант конфигурации якоря.
Рис. 0.3. Второй вариант конфигурации якоря.
Рис. 0.4. Третий вариант конфигурации якоря.
Во всех случаях канал имеет цилиндрическое поперечное сечение. Цилиндрическую геометрию имеют и другие части - якоря и рельсы. Для наглядности расчетные области на рис. 0.2 - 0.4 изображены в декартовой системе координат. Ось Oz в ней совпадает с осью Oz цилиндрической системы координат, плоскость y = 0 - с плоскостью ? = 0. Разгон якорей происходит в положительном направлении оси Oz.
Для описания электродинамики ускорения и тепловых процессов используется замкнутая трехмерная нелинейная модель, объединяющая расчет распределения тока в якоре и локального тепловыделения с непосредственным расчетом ускоряющей силы [18, 19]. Постановка задачи в целом определяется необходимостью исследования ускорителей типа рельсотрон со сложной топологией якоря и канала. При этом построенные модели должны быть однородны по различным подобластям с резко различающейся электропроводностью: типа проводник или диэлектрик.
Для расчета электромагнитных полей в ускорителе используется заданная зависимость полного протекающего через ускоритель тока от времени (в случае замкнутых в передней части рельсов ток, протекающий через замыкающий проводник, также считается заданным). В расчете учитываются фазовые переходы и зависимость электро и теплофизических параметров от температуры.
Т.к. основной целью расчетов является изучение качественных особенностей распределений трехмерных полей, результаты приведены в безразмерном виде.
Авторы благодарят В.Л. Боброва за полезные обсуждения ряда вопросов, затронутых в работе.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект РФФИ № 03 - 01 - 00461).
§ 1. Математическая модель
Электромагнитные поля будем описывать квазистационарным (или МГД) приближением [18, 19] системы уравнений Максвелла. Для описания используем цилиндрические координаты r, ц, z.
При моделировании целесообразно ограничить рассматриваемую область некоторым соосным цилиндром и вести описание полей в пространственной области, жестко связанной со скользящим якорем. Длина этой области (вдоль Oz) составляет несколько калибров ускорителя в обе стороны от якоря. При таком подходе возникает проблема задания граничных условий на передней и задней границах исследуемой области. На боковых границах области этой проблемы нет, т.к. канал рельсотрона обычно заключен в проводящий силовой бандаж.
В силу пространственной симметрии задачу достаточно решать на угловом участке в р/2, т.е. в области при t > 0. Здесь R - размер цилиндра, ограничивающего расчетную область по радиусу, lz - длина расчетной области по координате z.
Ограничение пространственной области вдоль Oz вызвано резким различием длины реального ускорителя (по z) и его поперечных размеров. Единственной заданной извне электромагнитной величиной можно считать токи источника питания и замыкания. Поэтому естественно использовать модель, в которой на торцах расчетной области заданы тангенциальные компоненты магнитного поля, соответствующие бесконечно длинной (вдоль Oz) системе проводников, для каждого из которых задан полный ток. Это поле является решением соответствующей пространственно двумерной задачи. Решение трехмерной задачи получается путем использования алгоритма [18, 19] по заданным тангенциальным компонентам граничного магнитного поля.
Ниже используются обозначения, традиционные для работ по моделированию электромагнитных явлений, в т.ч. [18, 19].
Для определения тангенциальных компонент на торцах укороченной области требуется решить систему интегро - дифференциальных уравнений [19]. При решении трехмерной задачи в варианте без короткого замыкания (в передней части) на торце z = 0 задано тангенциальное магнитное поле Hф, полученное решением соответствующей двумерной задачи, а на противоположном торце поле Hф нулевое. Для варианта с коротким замыканием будем считать, что на обоих торцах расчетной области z = 0 и z = lz заданы тангенциальные компоненты магнитного поля Hф, полученные решением двух вспомогательных задач. Таким образом, в случае незамкнутых рельсов решается одна задача для постановки граничных условий, а в случае замыкания на торцах необходимо решить две специальные задачи для интегро - дифференциальных уравнений. Подробности математической модели и вычислительного алгоритма представлены в работах [18, 19].
Модифицировав в развитие [20] программу формирования файла - описателя области, будем описывать геометрические объекты в цилиндрических координатах. В результате трехмерная область оказывается подразделена на параллелепипеды (цилиндры в декартовых переменных) с гранями, параллельными координатным плоскостям. Параллелепипеды отличаются материалами, характеристиками сетки или условиями на своих границах. В каждом параллелепипеде определено количество ячеек разностной сетки. Такие характеристики, как плотность, электропроводность и другие параметры материала определяются однозначно номером, который сопоставлен данному параллелепипеду.
Полученные параметры пространственной области используются для дальнейшего расчета. По ним рассчитывается набор логических массивов [20], полностью определяющих область, ее границу и, тем самым, матрицу системы линейных алгебраических уравнений (т.е. разностную схему) для решаемой задачи. Для решения возникающей системы линейных алгебраических уравнений используется метод сопряженных градиентов совместно с неполным разложением Xолесского [21 - 23].
§ 2. Результаты расчетов для первого варианта конфигурации
Для первого варианта якоря (рис. 0.2) расчетную область G разобьем на 5 подобластей по r (3 подобласти якоря, рельс и диэлектрик над рельсом), 2 подобласти по ? (рельс и диэлектрик за рельсом), 5 подобластей по z (диэлектрик за якорем, 3 подобласти якоря, диэлектрик перед якорем). Каждую подобласть разобьем на разностные ячейки, число которых определяется физическими соображениями. Число ячеек составило: по r - 28 (6 + 8 + 6 + 4 + 4), по ? - 12 (6 + 6), по z - 30 (4 + 8 + 8 + 6 + 4). В результате в пространственной области находится 35061 ребер сетки, 31776 граней, 10080 ячеек.
Расчет будет вестись для незамкнутых спереди рельсов.
На рис. 2.1 представлена зависимость максимальной температуры в расчетной области от времени. Эта зависимость отображает фазовые переходы, происходящие в области. Первый (нижний) горизонтальный участок графика (рис. 2.1) соответствует плавлению некоторых участков якоря. Второй (верхний) горизонтальный участок соответствует кипению части материала якоря.
Рис. 2.1. Максимальная температура в расчетной области.
График изменения максимальной температуры, построенный по результатам расчетов для первого варианта якоря, является типичным и для других вариантов якоря.
Далее на рис. 2.2 - 2.5 представлены линии уровня распределений плотности тока в сечениях плоскостями ? = const. Рисунки приведены на момент времени t = 0.131. Для наглядности ограничимся отображением подобласти, занимаемой якорем.
На всех рисунках вертикально (снизу вверх) направлена ось Oz, горизонтально (слева направо) - ось Or. Сечение области плоскостью i? = 2 соответствует области, близкой центру рельса (по углу), сечение i? = 6 соответствует краю рельса.
При численном моделировании для первого варианта якоря (рис. 0.2) проведены расчеты двух вариантов материалов. В первом случае проводящая часть якоря считалась однородной (соединительный элемент - цилиндр наименьшего радиуса на рис. 0.2 - считался алюминиевым). Во втором случае соединительный элемент считался стальным (неоднородная проводящая часть). Результаты расчетов электромагнитных, силовых и тепловых полей для обоих конфигураций практически совпадают. Поэтому далее приведены результаты расчетов только для неоднородного якоря.
Расчет проведен до момента t = 0.132. На подписях к рисункам показаны максимальные и минимальные значения величин в сечении. Данные характеристики позволяют численно сравнить компоненты.
Сечение i = 2. Сечение i = 6.
Min = 0, max = 28.54 Min = 0, max = 61
Рис. 2.2. Распределение |j|.
Min = -25.35, max = 0.25 Min = -29.4, max = 0.15
Рис. 2.3. Распределение jr.
Min = -0.06, max = 2.37 Min = -1.24, max = 50.54
Рис. 2.4. Распределение j?.
Min = -19.87, max = 27.81 Min = -15.94, max = 33.99
Рис. 2.5. Распределение jz.
Рис. 2.2 показывает, что в сечениях, близких центру рельса (по углу), плотность тока достигает наибольшего по модулю значения в точке контакта задней (относительно оси Oz) поверхности алюминиевой части якоря со стальной. В сечениях, близких краю рельса (по углу), рассматриваемая величина достигает максимального по модулю значения в области контакта якоря с рельсом. Наибольший вклад в значение модуля плотности тока j на внутренних (по радиусу) плоскостях алюминиевой части якоря дают r - и ? - компоненты плотности тока (рис. 2.3 - 2.4), а z - компонента дает заметный вклад только в экстремумы в стальной части и в области контакта якоря с рельсом (рис. 2.5).