Материал: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Знак «—» указывает, что углы отсчитывают по часовой стрелке

от вектора	ѵх.	при обтекании выпуклого тупого угла назы
Течение	газа	при обтекании выпуклого тупого угла назы
вают течением		Прандтля—Майера.

Аналогично решается задача расширения газа в косом срезе соплового аппарата турбины при сверхзвуковой выходной ско рости (рис. 156).

Если давления в окружающей среде меньше, чем на срезе сопла, то поток повернется на некоторый угол вокруг точки А. Этот угол будет зависеть от скорости ѵ.г, которая, в свою очередь, определяется из уравнения Бернулли по известному давлению р.2. В этой задаче точка В также будет давать слабые волны и форма

струи	несколько изменится. Решение сводится к задаче 4, где А
и В	лежат на свободной поверхности.

Г Л А В А VI

ОСЕСИММЁТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕВЯЗКОЙ СРЕДЫ

§ 32. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

При анализе потока в турбомашинах большое внимание уде ляют осесимметричному движению газа в осевых зазорах осевых турбомашин, в щелевых диффузорах радиальных компрессоров, в кольцевых каналах входных и выходных патрубков и т. п.

Все	указанные	течения предполагаются осесимметричными,
при их	анализе	не рассматриваются аэродинамические	следы
за стойками и лопатками предыдущих венцов. Фактически			рассма

тривается установившееся осредненное осесимметричное течение без учета внешних массовых сил. Для анализа осесимметричного течения удобно воспользоваться цилиндрической системой коор динат.

Рассмотрим основные уравнения газодинамики в этих коорди натах.

Уравнение неразрывности в цилиндрических координатах

Выведем уравнение неразрывности в цилиндрических коорди натах, так как в дальнейшем нам придется его применять при анализе течения в ступени турбомашины. Положение точки M (рис. 157) в пространстве в цилиндрических координатах опреде ляется углом Ѳ между координатной плоскостью и плоскостью, проведенной через точку M и координатную ось z, и декартовыми координатами z и г точки во второй из упомянутых плоскостей.

Для вывода уравнения неразрывности опять мысленно выделим

элементарный	произвольный	объем. Проекции вектора	скорости
в точке M будут ѵг, ѵѳ, vr,		а плотность р.	единицу
Рассмотрим	изменение массы выделенного элемента за

времени. Количество жидкости, заключенное в выделенном объеме, уменьшается (или увеличивается) на величину вытекающей (или втекающей) через поверхность жидкости:

1) разность между массами жидкости, втекающей через перед нюю грань и вытекающей через заднюю грань выделенного

287

элемента, в единицу времени:

pvzr dQ dr	dz

r dQ dr = ^h-dQdrdz- dz

2) разность между массами жидкости, втекающей через левую грань и вытекающей через правую грань, в единицу времени-

pvedrdz-[pve

d-^rdQ drdz =

-^prdedrdz-

3) разность между массами жидкости, втекающей через ниж нюю грань и вытекающей через верхнюю грань, в единицу времени:

					,	â(pvrr)	j
			pvrr dQ dz — PV + y				d r	X
			X dQ dz = — dJ£Erll dr dQ dz.
					dr
			Разность между		массами втекаю
			щей и вытекающей		в единицу			време
			ни жидкости равна сумме рассмот
			ренных	величин:
				д(РѴг)	d	(PVQ)	r +
				dz	râB
Рис. 157. Элементарный		объем		н- d (pvrr)	dr dQ dz
в цилиндрической системе		коор		dr
динат			Но по закону сохранения					массы
			Но по закону сохранения					массы
разность втекающей и вытекающей масс жидкости							равняется
изменению массы в объеме			элемента	за единицу		времени, т. е.
d (рѴг)	d (pvö) I 1		d(prvr)	rdQ dr dz = ^dt		r dQ dr dz.
dz	гаѲ	r	dr	rdQ dr dz = ^dt		r dQ dr dz.

Откуда, сократив на r dQ dr dz, получим уравнение неразрыв ности в цилиндрических координатах:

	d[prvz)	. d(prvB)	д (ргѵг)	= 0.	(278)
ât ~> r	dz	rdQ	dr

Уравнения движения идеальной жидкости в цилиндрических координатах

Как было сказано, в лопаточных машинах нам приходится иметь дело с осесимметричным движением жидкости (газа). По этому для анализа течения в лопаточных машинах удобно восполь зоваться уравнениями движения в цилиндрических координатах.

Воспользовавшись обозначениями, введенными при выводе уравнения неразрывности в цилиндрических координатах, запи шем проекции скорости в произвольной точке потока:

_ dr		rdQ	_	dz
V r ~ dt	'	u o - -ÖT ;	v* -	dt •

288

	В векторной форме		записи
			V = ѵгі + vQj		Vzk
или			dr	г dB т	dz
			dr	г dB т	dz
			dt	dt	dt
где	орты i,	j , k — единичные		векторы, причем		направления i
и /	зависят	от выбора	точки	в пространстве, а		направление ~k

остается постоянным (параллельным оси г) для всех точек потока. Уравнение движения идеальной жид

кости в цилиндрических координатах по лучим при помощи уравнения движения Эйлера в векторной форме, которая не зависит от выбора системы координат:

-	dv	=	-,	f -	I	,
-	s r	=		f -	T	& a u p .

Из рис. 158 следует, что производные по времени от і и / будут равны соответ ственно:

- т т - = l i m -гт = l i m — r - 7 — d t Ai->0 A t Ai->0 M

dQ -	Рис.	158.	Смещение век
	торов	inj	на угол АѲ

и аналогично

	=	u m		d9
dt			At	dt
		д*->о

Подставляя эти значения в выражение для dvldt члены при i, /, /г, получим:

dv_		dr	dQ	, d	( ..	dQ_
dt	df- ~ ' \ dt )	dt	dt	"r" dt	V	dt

и объединяя

T	,	d-z -r
l	+	— k.
		dt2

dr_

dr"- dQ

_ J_

dt У

dt )

' dt*)

тогда

dv_

~°— \ i

d ,

\"| ~ ,

dvz~r

Проекции уравнения движения на оси координат примут вид:

	dvr	9			1	dp .
	dvr		=	t r	1	dp .
	~Ж	Г	=	t r	p	dr '
	= /е	1	ap .			dvz	J_	dp
r dt '	= /е	Р	rdQ	'		~dl —	p	âz

19 В . С. Бекнев

289

или, заменяя полные производные частными, получим уравнения Эйлера в виде

оЧ'е	i	Ѵг д(гѵѳ) ,		дщ_ i	ОУѲ	с	1	dp .	[ (279)
dt	т	т	дг	° г <ЭѲ	dz	'0	р г о Ѳ '

Ô U Z		_ \| _ Л	д Ѵ г _1_ 7,	Ô " Z _1_ 7,	Ö Ü Z — f		1 д	Р

Выражения для вихря скорости в цилиндрических координатах

Воспользовавшись обозначениями рис. 157, составим цирку ляции по контурам граней элементарного объема:

для грани MADE

|(t;erde)dr-7|e(orrfr)rde

или

откуда по теореме			Стокса
				2	'	д	(™ѳ)		дѵг	(280)
					.гаг				räQ	(280)
					.гаг				räQ
Для	грани	МСВА
		d-ГмсвА		д					д	dz) dr,
		d-ГмсвА		--j	(vrdr) dz — --у (v2					dz) dr,
откуда
										(281)
Для	грани	MEFC
	dTMEFC		=	7Ід- (vz		dz)	rdQ	—	-0-- (ѵѳг	dQ) dz.
откуда
				_	1	(	àvj_	_	дщ\	(282)
				г~~~Т\гдѲ					dz ) *

290

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/128432

Смотрите также:


ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Новая экономика': российская специфика
'Свадьба'. Керамика
"Волонтерство и его роль в системе социокультурных институтов"