Материал: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

В самом деле,

dy	\	(dvy\	_ _ ,
		d v j n -	l'
dy	\	(dvy
	il	\ dvx j \

a из аналитической геометрии известно, что это является условием перпендикулярности двух прямых (в нашем случае двух каса тельных к элементам характеристик в соответствующих точках плоскостей потока и годографа).

Выберем координатные оси таким образом, чтобы вектор ско рости в точке M был направлен по оси х (рис. 145), тогда

			ѵх	=	ѵ> ѵу = °-
			Из	уравнения (273) по-
//--^	^>-<^—Z	I I ,	лучим, учитывая, что - \| - =
			= sin	а м	:
Рнс.	145. Характеристики	в точке M плос
	кости потока и линий Маха			=	± t e aль
				=	± t e aль

т. е. вектор скорости направлен по биссектрисе угла между каса тельными к двум характеристикам плоскости потока в точке их пересечения и составляет угол а м Маха с каждой из характери стик. Таким образом, характеристики в потоке газа направлены так же, как и волны Маха, составляя угол а м с вектором скорости в данной точке. Имея сетку характеристик и проводя биссектрисы углов между характеристиками, легко можно построить линии тока.

При этом чем меньше будут ячейки между характеристиками, тем точнее будет построение линий тока. Как указывалось выше, вид характеристик в плоскости годографа не зависит от вида

течения	газа.
Найдем уравнение характеристики в плоскости годографа.
Введем	полярные координаты на плоскости				годографа скорости,
т. е.
	ѵх	=	V cos t);	vy = V sin
Отсюда	находим
	dvx	=	dv cos	Ѳ — и dQ sin	Ѳ;
	dVy	=	dv sin	Ѳ -}- V dQ cos	Ѳ.

Подставляя полученные выражения в уравнение (274), получим

sin Ѳ dv -\|— и cos Ѳ dQ		и2 cos° Ѳ — a"
cos Ѳ dv — V sin Ѳ dQ	~	_ „ 2 c o s 0 S in Ѳ ± a V~v2 — a2 '

274

После несложных преобразований получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными:

			dQ =	+ ^ѵ°- -		а і dv.			(275)
				—	va		K		'
Скорость звука и скорость потока, как сказано выше, связаны
уравнением	Бернулли
		2	k — 1		k — 1 2 '
отсюда
			2 k + 1 2			/г — 1 2
		2	2	Ä -4— 1 / 2		2 \
		Ü — а = - ^ р - (о — ак р ).
Подставляя полученное выражение в уравнение (275) и выпол
няя интегрирование,			получим
Ѳ=	± (Y^^ëYi^rZ-^cigZJ+C.								(276)
Проанализируем		полученную			формулу,		имея	в виду, что
					- 1	> о .
Положим	произвольную			постоянную С = 0				и	возьмем урав
нение со знаком плюс. Из формулы (276) следует,									что при Z —> О
(А, --> 1) получаем		Ѳ —> 0,		при	Z—у оо		(х —>		~

имеем"».-f-d/s-'

Уже отсюда можно заключить, что кривая, построенная по уравнению (276) в переменных ѵ и Ѳ, расположена в кольце с вну

тренним	радиусом	v = а к р и внешним	ѵ = ü m a x .	( ± ) ,
Изменяя значения постоянных С и учитывая оба знака				( ± ) ,
получим	семейство	кривых в указанной	кольцевой области.	Это
и есть характеристики в плоскости годографа скорости (рис.				146).

Эти кривые называются эпициклоидами. Эпициклоиду описы вает точка окружности, катящейся без скольжения по другой окружности.

Но, как мы уже указывали, задача сводится к построению характеристики в плоскости потока.

Для графического перенесения характеристик из плоскости годографа в плоскость потока применяется эллипс Буземана.

18*

275

Рис. 147. Эллипс Буземана в плоскости годографа

276

Его построение основано на следующем искусственном приеме. В уравнение Бернулли для сверхзвукового потока введем замену:

ѵ2 = а2 + с2,

тогда

		а" -\- с2	,	а2		k + 1	2
		2	г		~ ~2~(k—l)		Û K p
И Л И
		2 (А — 1)		1	2 г 2 ( é - 1) "К Р
или после деления		на правую часть
			°"	+	- ^ =	1.			(277)
			0 '2	1	U2
			кр		max
	Получили уравнение эллипса с полуосями, равными соответ
ственно внутреннему и			наружному			радиусам нашего			кольца
с	эпициклоидами.	Если	совместить			центры эллипса		и	кольца,
то	каждая точка	дуги	эллипса в силу равенства ѵ2					= а2 + с2

будет отвечать определенной величине скорости потока (рис. 147). Вспоминая, что угол между вектором скорости и элементом характеристики в данной точке потока определяется соотноше нием sina = a/u, заметим любопытное свойство эллипса Буземана: угол между большой осью и вектором скорости равен углу между вектором скорости и элементом характеристики в плоскости потока. Таким образом, если эллипс расположен в соответствии с заданным вектором скорости, то большая ось эллипса дает на

правление элемента характеристики в плоскости потока.

Легко заметить, что заданному вектору скорости отвечают два положения эллипса: одно, только что рассмотренное, и вто

рое — симметричное			относительно его большой		оси. Второе на
правление большой			оси эллипса	в плоскости потока		определяет
направление элемента характеристики другого семейства.
Нетрудно догадаться, что малая ось эллипса дает						направление
элементов характеристик в плоскости годографа.
Следует заметить, что отношение полуосей					эллипса
			А,	у k — 1
			шах
зависит	только	от величины k,		т. е. от рода газа. Для воздуха
k = 1,4	и Аш а х	= 2,449.

Основные задачи для плоского потенциального течения газа, решаемые методом характеристик

Рассмотрим ряд задач на построение сверхзвуковых плоских потоков.

К этим задачам, как мы увидим, можно свести любую задачу плоского сверхзвукового течения без скачков уплотнения.

277

Задача 1. В плоскости потока задано распределение скоростей


на линии	AB,	не	являющейся		характеристикой			(рис.		148).
Покажем, что можно построить поле скоростей в области,										огра
ниченной	линией	AB	и характеристиками АС				и ВС	(разных се
мейств), т. е. в криволинейном треугольнике							ABC.
Имея скорости в каждой точке линии AB,							перенесем ее в пло
скость годографа скорости. Получим непрерывную линию										AB,
так как по предположению скачков в потоке нет.
Произвольно		взятые точки		Mlt	М2 на	линии AB			перейдут
в точки М[, М'ч на линии А'В'.				Через точки		A', M',		Mî,	В'	про

ходят известные характеристики в плоскости годографа. Точки их пересечения обозначим N{, . . .

		Рис.	148. Решение задачи 1 методом			характеристик
Таким образом, в плоскости годографа получаем								область
А'В'С.	Теперь перенесем эту			область	в плоскость потока.
Точки		Ni,	Л/г определяют	величину и		направление		векторов
скорости		V соответствующих точек Nx			и	Л/2	плоскости	потока.
Мы знаем, что по известной скорости						ѵ	можно с	помощью
эллипса Буземана построить элементы характеристик,								проходя
щих	через	соответствующую точку в			плоскости потока.

Для этого совместим край эллипса с концом вектора скорости ѵ в плоскости годографа, например с точкой М[. Тогда направление большой оси эллипса дает направление элемента характеристики в плоскости потока. Совмещая другой край эллипса с той же точ кой М{, получим направление характеристики другого семейства в плоскости потока. Поступая так же с остальными точками, можно построить сетку характеристик в плоскости потока. Эти характе ристики будут состоять из отрезков прямых, что и раскрывает приближенность данного метода.

Как мы уже знаем, скорость направлена по биссектрисе угла между характеристиками в данной точке. Значит, имея сетку характеристик, можно построить поле скоростей. Величины

278

скоростей определяют по сетке характеристик в плоскости годо графа.

Задача 2. В плоскости потока задано распределение скоростей на двух пересекающихся характеристиках AB и АС (рис. 149).

Покажем, что можно построить поле скоростей в области, ограниченной этими характеристиками и двумя характеристи ками, проведенными через точки В и С до их взаимного пересече ния, т. е. в криволинейном четырехугольнике ABCD.

Имея величины и направления скоростей в точках характе ристик AB и АС плоскости потока, переносим их в плоскость годографа.

Рис. 149. Решение задачи 2 методом характеристик

Так как в плоскости годографа характеристики не зависят от

вида течения, то область A'C'D'B'			получается	сразу.	Проведем
через точки М{, М'і,	. . . и N{,	NÔ, . . . плоскости годографа ха
рактеристики обоих	семейств.	В	полученных	точках	пересече

ния Р{, Pô скорости известны. Затем с помощью эллипса строим последовательно прямолинейные элементы характеристик в пло скости потока. Проводя биссектрисы углов между характеристи ками в плоскости потока, получаем искомое поле скоростей в пло скости потока. Величины скоростей определяют по плоскости годографа.

Частный случай задачи 2. Пусть в плоскости потока заданы две характеристики с известным распределением скоростей на них,

причем на одной из них скорости	потока	постоянны по вели
чине и направлению.
Характеристика, вдоль которой	вектор	скорости постоянен,
в плоскости годографа вырождается	в точку.

Определим ее форму в плоскости потока (рис. 150). Мы уже видели, что большая ось эллипса Буземана, край которого совме щен с концом вектора скорости в плоскости годографа, дает на

правление элемента характеристики в	плоскости потока. Но
в нашем случае вектор скорости вдоль	характеристики постоя-

279

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/128432

Смотрите также:


ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Новая экономика': российская специфика
'Свадьба'. Керамика
"Волонтерство и его роль в системе социокультурных институтов"