Д ля нелинейного уравнения сумма частных решений не дает
решения уравнения, т. е. мы не можем «накладывать» |
различные |
потоки или, другими словами, не можем расслоить |
сложный |
поток на простые составляющие. |
|
Поэтому были предложены различные способы линеаризации этого уравнения, т. е. способы сведения его к линейному диффе ренциальному уравнению второго порядка в частных производных, коэффициенты которого не зависели бы ни от ср, ни от его произ водных, а были бы постоянны или являлись функциями неза висимых переменных х и у.
В 1902 г. С. А. Чаплыгин дал оригинальный способ линеари зации уравнения (269). Он предложил ввести новые независимые переменные: величину вектора скорости.ѵ и его угол Ѳ с коор динатной осью. Таким образом, задача переводится во вспомога тельную плоскость годографа скорости, и решается в полярных координатах (ѵ, Ѳ).
Уравнение Чаплыгина имеет следующий вид:
Оно линейно, так как его коэффициенты зависят лишь от не зависимой переменной ѵ. Скорость звука а также является функ цией скорости потока в данной точке, что следует из уравнения Бернулли.
Метод характеристик
Одним из приближенных способов решения уравнения (269) является графо-аналитический метод характеристик. Решить это
уравнение графически — значит |
построить картину линий тока. |
Поставим |
себе такую |
задачу: |
|
|
Имея |
распределение |
скоростей |
на |
ли |
нии AB |
в плоскости потока газа, найти |
рас |
пределение скоростей в окрестности этой |
линии. |
|
|
|
|
|
Найдем скорость в точке M, близкой к |
AB. |
Поскольку скорости на AB |
заданы, |
то в точ- |
Тке M (рис. 143):
Рис. |
143. Произволь |
|
|
|
ная |
линия AB |
в плос |
|
JxM |
|
кости течения |
газа |
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
JxM |
VxD |
/VI |
Уо) |