Материал: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Осесимметричное установившееся движение невязкого газа

В этом частном случае выражения (278)—(282) дают

0: (283)

dur	дѵг
дг	•~dz ' r	f r
		f r
		dz

J_dp_

p dr

(284)

dvz .	dvz	.	j	_	dp_.
° ' зГ + " » Ж = /* — p dz '
î а ( г о ѳ ) .		Cùo ~			dvz
			2 \	dz	dr У-
rdr

(285)

д (rve) r dz

В случае потенциального движения, учитывая выражения для IÙZ и юг [формулы (285)], получим


				ги0 =		const.
Из	второй		строки	выражений		(284) следует, что
				v grad {гѵѳ) = r/ѳ,
т. е.	условие		гѵѳ = const		тождественно		отсутствию	проекции
массовых		сил на окружное			направление.
Если		же	задано	/ ѳ = 0,	то течение может быть и непотен
циальным, этому случаю					соответствует		течение, при	котором

v±gvaà{rve),

причем линии rv0 = const расположены в плоскости, перпенди кулярной оси симметрии потока.

Уравнение (283) позволяет ввести функцию яЬ (г, г), которая удовлетворяет условиям

дф	р	Эф	р	гѵг,	(286)
дг	Po z'	dz	—	гѵг,	(286)
			Po	"

обращающим уравнение (283) в тождество. В выражениях (286)

через р 0 обозначена	плотность в какой-то условной точке.
Из условий (286) следует, что поле скоростей в осесимметрич-
ном потоке связано	с функцией \р (r, z) формулами

а = ü°--L UÎ •			у — _ A JL <?î
z	p г дг '	г	p	r dz
z		г
19*				291

Уравнение (283) указывает, что дифференциальный двучлен

— гѵ, dr

— rvr

является

полным дифференциалом

функции

яр (г,

z).

На

поверхности

тока

несжимаемой и в сжимаемой жидко

стях

яр (г,

г) =

const,

следовательно,

уравнение

линии

тока

в плоскости

(г, г)

примет вид

dr_ _

dz_

~~ ѵг

Как и в плоском потоке, расход газа в канале,

ограниченном

двумя

поверхностями

тока яр! и яр2 , выражается через

эти значе

ния

функции тока.

Расход газа между двумя бесконечно близкими

поверхностями

тока

dQ = 2л. г p (vzdr

— vrd2)

2лр0 Л|>.

Для канала конечной ширины, ограниченной поверхностями

тока

ярх и яр,, получим

Q =

J dQ =

2яр 0 (яр2

— яр^,

что

и требовалось

показать.

Если поток

потенциальный,

то из выражения (285) для с о ѳ = 0

следует, что существует функция

ср (/-, г), производные от которой

по координатам

дают проекции

скорости на эти оси

ô £ .

_3ф

z ~

dz '

V r

—

дг -

Линии

ср =

const

яр =

const

образуют

в плоскости

(Г, г)

сетку

ортогональных

кривых.

Записав

dm -

ЁѴ dz

-L

а ф

—

a z

' '

dy = ^ d z - r ^ d r ,

получим

dcp

(

- )

= •

оф_

—

dz / ф = с

дг

(

— )

оф/дг

_ ѵГ

d^fldr

vz '

dz / і р = с

откуда

следует, что линии

ср =

const

и яр =

const перпендику

лярны

как для сжимаемой,

так и для несжимаемой

жидкостей.

При

этом

поле

линий ср = const

и яр =

const зависит

от сжимае-

292

мости среды.	Следует	подчеркнуть,	что плотность жидкости
в данной точке	зависит	от всех трех	проекций скорости іу, ѵѳ

иѵг, причем ѵв не входит явно в выражения для ср и і)). Определенный интерес представляют случаи осесимметричного

течения газа в канале между двумя цилиндрическими поверх ностями и между двумя плоскостями, перпендикулярными оси симметрии.

Первый случай схематически соответствует течению в осевом зазоре между венцами осевой турбомашины, второй — течению в радиальном зазоре между венцами радиальной турбомашины.


	Если для осевой турбомашины				принять ѵГ — 0, то при сог =
=	со0 = м г	= 0, т. е. для потенциального					потока,	получим
			гѵѳ	= const и vz = const			по /'.		(287)
	Выражения		(287) позволяют		найти	треугольники			скоростей
на	любом	радиусе		осевого зазора.
	Из уравнения (283) и третьей строки						выражения		(284) при
/г = /ѳ = /г		= 0	с	учетом уравнения		изоэнтропы		имеем

Следовательно, при ѵг ф a dp/dz = 0, а значит и dpldz = О и dvjdz = 0, т. е. параметры газа не меняются по длине цилин

дрического зазора.		При vz = a, ^=г0,	что	соответствует тече
нию в горле	сопла	Лаваля.
Из первой	строки выражений (284) при			=	получим

т. е. при любой «закрутке» потока в осевом зазоре цилиндрической ступени имеется положительный градиент давления, а следова тельно, и плотности.

Уравнение (288) называют уравнением радиального равнове сия; оно нашло широкое применение в теории осевых турбомашин.

Для	радиальной	турбомашины		можно		считать, что ѵг = О,
тогда из	условий потенциальности			со, =		ц>ѳ = mz = 0	получим
		л7 =	0; гиѳ =	const.
Пренебрегая массовыми			силами	(/ =	0) и рассматривая урав
нение (283) и первую строку выражений					(284) с учетом		изоэнтро-
пийностн	течения,	получим
где v2 =	vi + v\ — квадрат		модуля	скорости.

293

При движении газа в плоском радиальном канале, если ѵг <^ а, параметры газа можно подсчитать по соотношениям:

гѵѳ = const; rpvr = const;

^ p -~.

(289)

Соотношения (289) связывают параметры газа в плоском осесимметричном канале при установившемся осеснмметричном те чении.

Система дифференциальных уравнений неразрывности п дви жения вместе с уравнением изоэнтропы при заданных граничных условиях позволяет решить задачу. Решение в общем случае по лучается численным методом. Применение ЭЦВМ существенно сокращает время получения решения.

В отдельных случаях целесообразно иметь возможность полу чать решение задачи «ручным» способом. Такое решение обычно дают обратные задачи, при которых контур канала строится в виде линий тока некоторой системы особенностей (вихревых колец, стоков, источников, диполей и т. п.). Прямую задачу иногда удобно решить вручную графо-аналитически, хотя решение в этом случае получается приемлемым лишь для средней части канала. Для входных и выходных участков канала решение прямой задачи получить очень трудно.

§ 33.	ПРОФИЛИРОВАНИЕ КАНАЛА		МЕТОДОМ
ВИХРЕВЫХ КОЛЕЦ
Вихревое кольцо представляет собой замкнутую								вихревую
нить	заданной интенсивности (рис. 159).
Пользуясь формулой Био — Савара, можно вычислить скорости
в несжимаемой		жидкости для любой точки M в окрестности
		вихревого		кольца.		Проекции		скорости
		ѵг и vz выражаются через полные эллип
		тические		интегралы		первого		К (k) и
		второго Е (k) рода. Через эти же инте
		гралы выражается функция тока я\|з. По
		скольку имеются таблицы полных эллип
		тических		интегралов,			то не	предста
		вляет	большого		труда		получить		таб
		лицы для		расчета		проекций		скорости
		и функции		тока для одного				вихревого
		кольца.
		Так,	для изолированного					вихревого
		кольца	радиусом		R с		циркуляцией Г
		функция тока я\|) определяется						выраже
		нием
Рис.	159. Вихревое	кольцо			•шѴ(г,		г),	:	(290)

294

где	(r, z) = Vz°- + Çr +			l )		к'	К	— безраз-
					3
мерная	функция	тока	(табл.	4);	u		_	+ (l + r) 2 —
					k = 2Vr/Yz2
модуль эллиптического интеграла; r					= rlR;	z = z/R		— безразмер
ные координаты		точки.
Осевая и радиальная			проекции		скорости соответственно
								(291)

Рис. 160. Поверхности тока вихревого кольца

				(292)
где
	/С-	I +	2 fr-
У ? + ( 7 + і )	/С-	I +	г 3 + ( г - l) 2
"тѴ 2 2 - r - ( r + l ) 2	/С —	l	\|-_	а .
"тѴ 2 2 - r - ( r + l ) 2			Г 2 2 + ( Г _ 1 )	2
безразмерные составляющие скорости (табл. 5 и 6).
При наличии нескольких вихревых колец в поле течения
жидкости значения \\>, ѵг и	ѵГ для	произвольной		точки потока

складываются алгебраически.

295

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/128432

Смотрите также:


ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Новая экономика': российская специфика
'Свадьба'. Керамика
"Волонтерство и его роль в системе социокультурных институтов"