Материал: Аналитическая геометрия на плоскости. Пантелеев И.Н., Фурсова С.А

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Воронежский государственный технический университет

И. Н. Пантелеев С. А. Фурсова

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Учебное пособие

Воронеж 2001

УДК 51 (075)

Пантелеев И.Н.Аналитическая геометрия на плоскости:

Учеб.пособие / И.Н.Пантелеев,С.А.Фурсова. Воронеж. гос.

техн. ун-т. Воронеж, 2001. 82 с.

Систематизировано изложены основные разделы аналитической геометрии на плоскости (теория, задачи и методы их решения). Материал пособия предназначен для самостоятельного изучения и более глубокого понимания тех разделов, которые необходимы для успешного и эффективного изучения курса высшей математики.

Учебное пособие подготовлено на магнитном носителе в текстовом редакторе MS WORD 97 и содержится в файле

"AnGm_vmfmm.rar".

Ил. 34. Библиогр.: 10 назв.

Рецензенты: кафедра математики и физики Воронежского Военного института радиоэлектроники; канд. техн. наук А. Я. Аснина

Пантелеев И.Н., Фурсова С.А., 2001 Оформление. Воронежский государственный технический университет, 2001

1.СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ 1.1. Основные понятия

Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной из таких систем является прямоугольная

(декартова) система координат.

Прямоугольная система координат задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми - осями, на каждой из которых выбрано, положительное направление и задан единичный (масштабный) отрезок. Единицу

масштаба обычно берут одинаковой для обеих осей. Эти оси

называют осями координат, точку их пересечения О — началом координат. Одну из осей называют осью абсцисс

(осью Ох), другую – осью ординат (осью Оу) (рис. 1).

На рисунках ось абсцисс обычно располагают горизонтально и направленной слева направо, а ось ординат - вертикально и направленной снизу вверх. Оси координат делят плоскость на четыре области - четверти (или квадранты).

плоскость, в которой расположена система координат,

называют координатной плоскостью.

Рассмотрим произвольную точку М плоскости Оху.

Вектор O M называется радиусом-вектором точки М.

Координатами точки М в системе координат Оху

(O i j ) называются координаты радиуса-вектора O M . Если

O M = {х;у), то координаты точки М записывают так: М(х;у), число х называется абсциссой точки М,

у — ординатой точки М.

Эти два числа х и у полностью определяют положение точки на плоскости, а именно: каждой паре чисел х и у соответствует единственная точка М плоскости, и наоборот.

Другой практически важной системой координат является полярная система координат. Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом Ор, называемым полярной осью, и единичным вектором e того же

направления, что и луч Ор.

Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение точки М определяется двумя числами:

расстоянием r от полюса О и углом , образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки) (см. рис. 2).

Числа г и называются полярными координатами точки М, пишут М(г; ), при этом г называют полярным радиусом, у

—полярным углом.

Для получения всех точек плоскости достаточно полярный

каждой точке плоскости (кроме О) соответствует единственная пара чисел г и , и обратно.

Установим связь между прямоугольными и полярными координатами. Для этого совместим полюс О с началом координат системы Оху, а полярную ось - с положительной полуосью Ох. Пусть х и у — прямоугольные координаты точки М, а r и — ее полярные координаты.

Из рисунка 3 видно, что прямоугольные координаты точки М выражаются через полярные координаты точки следующим

образом:

x r cos , y r sin .

Полярные же координаты точки М выражаются через ее декартовы координаты (тот же рисунок) такими формулами:

tg yx .

Определяя величину , следует установить (по знакам х и у) четверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что -

< 2 .

Пример 1. Дана точка М(-1;- 3 ). Найти полярные координаты точки М.

Решение: Находим г и :

2. Основные приложения метода координат на плоскости

2.1. Расстояние между двумя точками

Требуется найти расстояние d между точками А(х1;у1) и В(х2;у2) плоскости Оху.

Решение: Искомое расстояние d равно длине вектора

2.2. Деление отрезка в данном отношении.

Требуется разделить отрезок АВ, соединяющий точки

Учитывая, что равные векторы имеют равные координаты, получаем

Формулы (2) и (3) называются формулами деления отрезка в

случае точка М(х; у) является серединой отрезка АВ.

Замечание: Если = 0, то это означает, что точки А и М совпадают, если < 0, то точка М лежит вне отрезка АВ — говорят, что точка М делит отрезок АВ внешним образом ( -

2.3. Площадь треугольника

Требуется найти площадь треугольника АВС с вершинами

А(х1;у1),В(х2; y2), С(х3;у3).

Решение: Опустим из вершин А, В, С перпендикуляры АА1, BB1, CC1 на ось Ох (см. рис. 5). Очевидно, что

Замечание: Если при вычислении площади треугольника получим S = 0, то это означает, что точки А, В, С лежат на одной прямой, если же получим отрицательное число, то следует взять его модуль.

3. Преобразование системы координат

Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы координат.

Рассмотрим два случая преобразования одной прямоугольной системы координат в другую. Полученные формулы устанавливают зависимость между координатами произвольной точки плоскости в разных системах координат.

3.1. Параллельный перенос осей координат

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху. Под параллельным переносом осей координат понимают переход от системы координат Оху к новой системе O1x1y 1, при котором меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неизменными.

Рис. 6.

Пусть начало новой системы координат точка О1 имеет координаты (x0;y0) в старой системе координат Оxy, т.е. О1(x0;y0). Обозначим координаты произвольной точки М плоскости в системе Oxy через (x;y), а в новой системе

x x0 x' , y y0 y'.

Следовательно

Полученные формулы позволяют находить старые координаты х и у по известным новым х' и у' и наоборот.

3.2. Поворот осей координат

Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и

масштаб остаются неизменными. Пусть новая система 0\х\у\

получена поворотом •системы Оху

Рис на угол а.

Пусть М — произвольная точка плоскости, (а;; у) — ее координаты в cтарой системе и (х', у') — в новой

системе.

Введѐм две полярные системы координат с общим полюсом О и полярными осями Ох и Oxi (масштаб одинаков). Полярный радиус г в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны + и , где - полярный угол в новой полярной системе.

По формулам перехода от полярных координат к