З останніх двох стовпчиків таблиці, використовуючи властивість 1 підходящих дробів, можна записати
163× 21- 58 ×59 = (-1)6 = 1, або a × 21+ (-58) ×b = 1 .
Отже, розв’язком рівняння ax + by = 1 буде пара чисел x = 21, y = −58 .
ЗАВДАННЯ ДЛЯ ВИКОНАННЯ ІНДИВІДУАЛЬНИХ КОНТРОЛЬНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ 1
ЗАВДАННЯ 1
Використовуючи алгоритм Евкліда, знайти НСД та НСК двох чисел.
1. |
1232, 1672. |
2. |
1 329, 2 136. |
|
3. |
1 359, 8 211. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
5 427, 32 877. |
5. |
5 894, 3 437. |
|
6. |
12 606, |
6494. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7. |
29 719, 76 501. |
8. |
162 891, |
32 176. |
9. |
469 459, |
579 203. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
10. |
738 089, |
11. |
179 370 199, |
12. |
3 327 449, |
|
|||||||
3 082 607. |
4 345 121. |
|
|
6 314 153. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
13. |
12 870, 7 650. |
14. |
41 382, |
103 |
818. |
15. |
3 640, |
14 300. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
16. |
24 700, 33 250. |
17. |
7 650, 25 245. |
18. |
56 595, |
82 |
467. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
19. |
35 574, 192 423. |
20. |
25 245, |
129 |
591. |
21. |
10 140, |
92 |
274. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
22. |
36 372, 147 220. |
23. |
46 550, |
37 730. |
24. |
1 403, |
1 058. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
25. |
213 239, |
26. |
138 285, |
|
27. |
72 348, |
5 632. |
||||||
512 525. |
356 405. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
28. |
354 295, |
29. |
24 789, |
35 286. |
30. |
32 893, |
72 |
568. |
|||||
543 440. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21
ЗАВДАННЯ 2
Використовуючи третю властивість НСД, знайти НСД трьох чисел.
1. |
529, 1541, 1817. |
|
|
2. |
67 283, 122 |
433, 221 703. |
|||||
3. |
549 493, 863 |
489, |
2 |
133 125. |
4. |
738089, 3 082607, 28 303 937. |
|||||
5. |
1767, 2223, 11 |
913. |
|
6. |
476, 1258, 21 114. |
||||||
7. |
3445, 4225, 5915. |
|
|
8. |
572, 5746, 1118. |
||||||
9. |
19 074, 13 566, 8211. |
10. |
1073, 3683, 34 481. |
||||||||
11. |
1012, 1474, |
4598. |
|
12. |
988, 2014, |
42 |
598. |
||||
13. |
2585, 7975, |
13 915. |
14. |
874, 1518, |
20 |
142. |
|||||
15. |
2227, 9911, |
952. |
|
|
16. |
1253, 252, |
406. |
||||
17. |
2743, 3587, |
6963. |
|
18. |
4345, 6523, 10967. |
||||||
19. |
7683, 5161, |
12 909. |
20. |
5174, 12 337, |
13 403. |
||||||
21. |
10 047, 6749, |
16 |
881. |
22. |
6766, 16 133, |
17 527. |
|||||
23. |
11 229, 7543, |
18 |
867. |
24. |
7562, 18 031, |
19 589. |
|||||
25. |
13 593, 9131, |
22 |
839. |
26. |
9154, 21 827, |
23 713. |
|||||
27. |
17 139, 11 513, 28 |
797. |
28. |
11 542, 27 |
521, 29 899. |
||||||
29. |
18 321, 12 307, 30 |
783. |
30. |
12 338, 29 |
419, 31 961. |
||||||
22
ЗАВДАННЯ 3
Використовуючи ознаки подільності чисел, дослідити, чи ділиться число a на число m .
|
m=35. |
m=39. |
m=55. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
a=351645 |
6. |
a=437931 |
11. |
a=747615 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
a=236215 |
7. |
a=294177 |
12. |
a=502205 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
a=590835 |
8. |
a=735813 |
13. |
a=1256145 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
a=236810 |
9. |
a=294918 |
14. |
a=503470 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
a=564655 |
10. |
a=703209 |
15. |
a=1200485 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m=31. |
m=91. |
m=29. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
16. |
|
a=238173 |
21. |
a=1559649 |
26. |
a=394197 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
17. |
|
a=159991 |
22. |
a=1047683 |
27. |
a=264799 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
18. |
|
a=400179 |
23. |
a=2620527 |
28. |
a=662331 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
19. |
|
a=160394 |
24. |
a=1050322 |
29. |
a=265466 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
20. |
|
a=382447 |
25. |
a=2504411 |
30. |
a=632983 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
23
ЗАВДАННЯ 4
Раціональне число a / b задане ланцюжком неповних часток. Побудувати відповідне найменше раціональне число a / b і знайти розв’язок рівняння ax + by = 1
|
|
|
a |
= [2,1,3,4,1,2] |
|
|
|
a |
= [2,1,1,6 ,8] |
|
|
|
|
a |
= [0,3,1,2,7 ,1] |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1. |
|
b |
|
|
|
|
|
. |
2. |
|
b |
. |
3. |
|
b |
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
a |
= [1,1,2,4,5] |
|
|
|
|
a |
= [0,3,4,3,2,3] |
|
|
|
a |
= [3,1,1,1,5] |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4. |
|
b |
|
|
|
|
|
. |
5. |
|
b |
. |
6. |
|
b |
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
a |
= [2,1,3,4,2,9] |
|
|
|
a |
= [13,1,4,2,5] |
|
|
|
a |
= [0,4,1,3,2,5] |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
7. |
|
b |
|
|
|
|
|
. |
8. |
|
b |
. |
9. |
|
b |
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
= [22,3,1,4,7] |
|
|
|
|
|
a |
= [2,1,30,2,3] |
|
|
|
|
|
a |
= [1,24,3,4,5] |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
10. |
|
b |
. |
11. b |
. |
12. b |
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
= [1,25,1,2,3,1,1] |
|
|
|
|
a |
= [11,2,3,5,1,1] |
|
|
|
|
a |
= [31,5,2,3,1,5] |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
13. b |
. |
14. b |
. |
15. b |
. |
||||||||||||||||||||||||||||
16. |
|
|
|
|
|
|
|
17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
= [2,8,1,2,3,1,2] |
|||||||||||||
|
a |
= [1,25,1,2,3,1,1] |
|
a |
= [1,13,1,2,5,1,1] |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
18. b |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
b |
|
|
|
|
|
|
. |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
a |
= [2,7 ,2,1,1,1,4] |
|
|
|
|
a |
= [3,7 ,2,5,1,1,2] |
|
|
|
|
|
a |
= [2,41,2,3,1] |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
19. |
|
b |
. |
20. b |
|
21. b |
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
= [2,17 ,1,5,1] |
|
|
|
|
|
a |
= [3,19,1,1,3] |
|
|
|
|
a |
= [2,1,1,3,5,1,1] |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
22. |
|
b |
. |
23. b |
. |
24. b |
. |
||||||||||||||||||||||||||
25. |
|
|
|
|
|
|
|
26. |
|
|
|
|
|
|
27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
a |
= [2,11,3,19,1,1,3] |
|
a |
= [5,9,3,11,1,1,2] |
|
a |
= [21,1,3,7 ,1,1,3] |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
b |
|
|
|
|
|
|
. |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
a |
= [2,23,1,2,3,1,2] |
|
|
|
|
a |
= [3,29,1,1,2,2] |
30. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
= [1,47 ,1,1,2,1,2] |
|||||||||||||||||||||
28. b |
|
29. b |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
24
ТЕМА 2. НАЙВАЖЛИВІШІ ФУНКЦІЇ В ТЕОРІЇ ЧИСЕЛ
2.1.Функції виділення цілої та дробової частини дійсного
числа.
2.2.Мультиплікативні функції.
2.3.Приклади мультиплікативних функцій.
Ключові терміни
Функція виділення цілої частини, функція виділення дробової частини, мультиплікативні функції, кількість дільників, сума додатних дільників, функція Ейлера.
2.1. ФУНКЦІЇ ВИДІЛЕННЯ ЦІЛОЇ ТА ДРООСКІЛЬКИВОЇ ЧАСТИНИ ДІЙСНОГО ЧИСЛА
1. Функція виділення цілої частини дійсного числа x повертає найбільше ціле число, яке не перевищує x :
[ x] = N; x = N + q; N Z; 0 < q < 1 .
Приклади |
|
|
|
[− 100] = −100; |
[45,9] = 45; [− 5,1] = −6 . |
|
|
2. Функція виділення дрооскількивої частини дійсного |
|||
числа x повертає різницю між числом |
x |
та його цілою |
|
частиною [ x] : |
|
|
|
{x} = x − [x] = q; |
0 < q < 1 . |
|
|
Приклади |
|
|
|
{− 100} = 0; {45,9} = 0,9; {− 5,1} = 0,9 . |
|
|
|
Приклад застосування функції виділення цілої частини |
|||
Визначити степінь α простого числа |
p , |
з яким це число |
|
входить до числа n!. |
|
|
|
25