Материал: ShashenkoSzdvigkovaGapeev_monograf

О

ПРЕДЕЛЕНИЕ

КОЭФФИЦИЕНТА

СТРУКТУРНОГО

ОСЛАБЛЕНИЯ

НА

ОСНОВЕ

ВЕРОЯТНОСТНО

-

СТАТИСТИЧЕСКИХ

МОДЕЛЕЙ

135

ми

, 

составляющая

 50-55%. 

Указывается

, 

что

соотношение

 (5.51) 

удовлетвори

-

тельно

соблюдается

для

всех

обследованных

систем

трещин

. 

Следуя

выбранной

статистической

модели

, 

определим

вероятность

того

, 

что

расстояние

между

трещинами

некоторой

системы

будет

не

менее

некоторо

-

го

критического

значения

*

l

: 

( )

∫

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

≥

*

0

2

2

*

2

2

*

2

exp

2

exp

1

l

l

dx

x

x

l

l

p

σ

σ

σ

. 

Разрешив

это

уравнение

относительно

*

l

, 

получим

: 

p

l

ln

2

2

2

*

σ

−

=

.   

С

учетом

 (5.51) 

значение

*

l

будет

равно

p

m

p

l

ln

2

52

,

0

ln

2

*

−

=

−

=

σ

.   (5.52) 

Например

, 

с

вероятностью

 65

,

0

=

p

все

значения

l

будут

не

меньше

вели

-

чины

m

m

m

m

l

48

,

0

52

,

0

*

=

−

=

−

=

σ

.    

С

учетом

полученных

соотношений

, 

при

определении

коэффициента

влия

-

ния

трещин

в

формуле

 (5.31) 

положим

, 

что

p

l

m

l

l

m

ln

2

52

,

0

0

0

−

=

.  

(5.53) 

В

табл

. 5.7 

приведены

значения

показателей

асиметрии

и

эксцесса

′

2

1

β

,

′

2

β

(

формулы

 (5.47) 

и

 (5.48)), 

полученные

для

различных

значений

0

l

m

в

предпо

-

ложении

, 

что

расстояния

между

трещинами

не

меньше

значения

σ

−

=

m

l

*

. 

Расчеты

выполнены

при

3

,

0

)

(

=

α

f

и

2

A

. = 1,2. 

Р

АЗДЕЛ

5 

136

Таблица

 5.7 

Значения

показателей

асимметрии

и

эксцесса

 «

исправленного

» 

вариационного

ряда

с

учетом

случайного

распределения

расстояний

между

трещинами

0

l

m

ν

′

2

1

β

′

2

β

1,0 
1,5 
2,0 
2,5 
3,0 
10 

0,5 
0,6 
0,66 
0,71 
0,75 
0,9 

1,60 
1,07 
0,77 
0,58 
0,48 
0,13 

5,91 
4,88 
4,33 
4,01 
3,78 
3,12 

При

среднем

расстоянии

между

трещинами

, 

меньшем

размеров

образца

, 

точки

на

плоскости

1

β

2

,

2

β

близки

к

гамма

-

распределению

. 

Но

по

мере

прибли

-

жения

соотношения

0

l

m

к

единице

распределение

стремится

к

логарифмиче

-

ски

нормальному

, 

что

в

наибольшей

степени

отвечает

физической

сути

иссле

-

дуемой

случайной

величины

 – 

прочности

структурных

элементов

на

сжатие

. 

Таким

образом

, 

вид

распределения

случайной

величины

 – 

предела

прочно

-

сти

структурных

элементов

породного

массива

, 

зависит

от

среднего

расстояния

между

прирожденными

трещинами

преобладающей

системы

, 

разброса

значе

-

ний

этих

расстояний

и

угла

наклона

трещин

к

оси

нагружения

. 

Количественно

это

отражается

на

показателях

асимметрии

и

эксцесса

статистического

распре

-

деления

, 

служащих

ориентиром

для

выбора

статистической

модели

исследуе

-

мого

количественного

признака

. 

При

этом

следует

отметить

, 

что

в

общем

слу

-

чае

форма

распределения

не

определяется

однозначно

показателями

асиммет

-

рии

и

эксцесса

. 

Поэтому

гипотезы

о

законе

распределения

случайных

величин

, 

в

частности

механических

характеристик

горных

пород

, 

следует

выдвигать

, 

не

только

анализируя

их

моменты

распределения

и

вид

эмпирических

гистограмм

частот

, 

но

и

исходя

из

физической

сути

этих

величин

. 

В

Приложении

Б

приве

-

дена

сводка

непрерывных

распределений

, 

наиболее

часто

используемых

для

О

ПРЕДЕЛЕНИЕ

КОЭФФИЦИЕНТА

СТРУКТУРНОГО

ОСЛАБЛЕНИЯ

НА

ОСНОВЕ

ВЕРОЯТНОСТНО

-

СТАТИСТИЧЕСКИХ

МОДЕЛЕЙ

137

описания

различных

случайных

величин

, 

в

том

числе

и

механических

характе

-

ристик

материалов

. 

Вернемся

к

вопросу

о

том

, 

как

вид

функции

вероятностного

распределения

прочности

структурных

элементов

определяет

в

соответствии

с

равенством

(5.3) 

значение

прочности

породного

массива

в

целом

. 

Р

АЗДЕЛ

6 

138

6. 

ВЕРОЯТНОСТНО

-

СТАТИСТИЧЕСКАЯ

МОДЕЛЬ

ПРОЧНОСТИ

ПОРОДНОГО

МАССИВА

С

УЧЕТОМ

МАКРОДЕФЕКТОВ

6.1. 

Обоснование

закона

распределения

прочности

породного

массива

с

учетом

влияния

макродефектов

В

разделе

 5.1 

на

основе

решения

уравнения

 (5.3) 

получено

выражение

для

коэффициента

структурного

ослабления

 (5.1) 

в

предположении

, 

что

прочность

структурных

элементов

распределена

по

нормальному

закону

и

F(R

) – 

инте

-

гральная

функция

нормального

распределения

.  

В

соответствии

с

 (5.8), 

основной

величиной

, 

служащей

для

количествен

-

ной

оценки

структурного

ослабления

, 

является

относительная

вариация

проч

-

ности

структурных

элементов

. 

В

главе

 5 

показано

, 

что

реальная

вариация

проч

-

ности

структурных

элементов

, 

характерная

для

всей

генеральной

совокупности

, 

намного

значительнее

той

, 

что

получается

в

результате

обработки

выборки

. 

Причина

такого

несоответствия

 – 

наличие

в

генеральной

совокупности

дефект

-

ных

элементов

, 

прочность

которых

меньше

прочности

ненарушенных

элемен

-

тов

. 

В

соответствии

с

полученными

формулами

 (5.38) 

и

 (5.35), 

вариация

проч

-

ности

определяется

расстоянием

между

трещинами

m

l

и

углом

наклона

трещи

-

ны

α

к

горизонтальной

оси

. 

С

учетом

того

, 

что

расстояние

между

трещинами

также

является

величиной

случайной

и

характеризуется

определенным

разбро

-

сом

относительно

своего

математического

ожидания

m

, 

объединяя

формулы

(5.38), (5.31) 

и

 (5.52), 

получим

систему

из

четырех

уравнений

для

определения

вариации

прочности

породного

массива

: 

(

)

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

+

+

=

−

+

=

,

1

)

(

,

1

1

0

0

1

2

2

1

2

/

l

l

f

l

l

K

K

K

m

m

α

η

η

(6.1) 

В

ЕРОЯТНОСТНО

-

СТАТИСТИЧЕСКАЯ

МОДЕЛЬ

ПРОЧНОСТИ

ПОРОДНОГО

МАССИВА

С

УЧЕТОМ

МАКРОДЕФЕКТОВ

139

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

−

=

+

+

=

.

ln

2

52

,

0

,

1

)

(

0

0

0

2

0

2

p

l

m

l

l

l

l

f

l

l

K

m

m

m

α

    (6.1) 

Здесь

m

 – 

среднее

рас

-

стояние

между

трещинами

, 

0

l

 – 

размер

стандартного

образца

, 

p

 – 

заданная

вероятность

, 

с

которой

определяется

расстоя

-

ние

между

трещинами

, 

)

(

α

f

 – 

функция

снижения

прочности

структурных

элементов

, 

со

-

держащих

макродефекты

(5.49). 

На

рис

. 6.1 

показано

из

-

менение

относительной

вариа

-

ции

прочности

в

зависимости

от

определяющих

ее

факторов

. 

Из

графиков

видно

, 

что

если

по

данным

лабораторных

испыта

-

ний

получена

относительная

вариация

прочности

образцов

в

пределах

 30-45 %, 

то

реальная

вариация

для

ге

-

неральной

совокупности

 – 

породного

массива

в

пределах

изучаемой

литологи

-

ческой

разности

 – 

с

учетом

естественной

трещиноватости

составляет

 50-80 %. 

При

такой

значительной

вариации

гипотеза

о

нормальном

распределении

проч

-

ности

структурных

элементов

совершенно

неприемлема

. 

Об

этом

же

говорят

значения

асимметрии

и

эксцесса

, 

также

определяемых

с

учетом

макродефектов

по

формулам

 (5.19) 

с

учетом

 (5.46). 

Таким

образом

, 

в

качестве

вероятностной

модели

исследуемого

признака

следует

принять

соответствующее

этим

значе

-

Рис

. 6.1. 

Зависимость

относительной

ва

-

риации

прочности

породного

массива

от

расстояния

между

трещинами

 (

для

случая

кососекущих

трещин

с

α

=45

0

): 1, 2 , 3, 4, 5 

– 

при

вариации

прочности

породных

образ

-

цов

η

=0,3; 0,45; 0,55; 0,65; 0,7