Материал: 96

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ПЕТЕРБУРГСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

МИНИСТЕРСТВА ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

Кафедра «Методы и приборы неразрушающего контроля»

СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ МОЩНОСТИ

АКУСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Методические указания

к лабораторной работе № 96 по дисциплине

«Обнаружение и фильтрация сигналов в неразрушающем контроле»

Санкт-Петербург

2015

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Получить представление о непараметрической оценке спектра мощности и возможности его использования при исследовании акустических сигналов.

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

Акустические методы неразрушающего контроля широко применяются при контроле качества продукции в машиностроении. Вне зависимости от того, какие, активные или пассивные методы используются, принятое акустическое колебание является носителем информации о состоянии объекта контроля (ОК). Основными оцениваемыми информативными характеристиками сигнала является его амплитуда и время прихода. В большинстве дефектоскопах происходит анализ именно этих характеристик. Однако, известны и другие признаки [1], по которым возможно определить тип и размер дефекта. К этому классу относятся методы, в основе которых лежит анализ огибающей спектра принятого сигнала. Существуют различные способы оценки спектра сигнала. Одной из них является оценка спектральной плотности мощности (СПМ) сигнала. Эта оценка позволяет получить распределение энергии в полосе частот. Оценка мощности спектра находит широкое применение в различных областях техники, включая обнаружение сигнала на фоне белого шума.

Оценка спектральной плотности мощности сигнала сохраняет информацию только об амплитудах спектральных составляющих. Информация о фазе теряется. Поэтому все сигналы с одинаковым спектром амплитуд и различными спектрами фаз имеют одинаковые спектры плотности мощности.

1.1. Спектр дискретного случайного процесса

Известны два определения спектра мощности дискретного стационарного случайного процесса (ССП). Во-первых, как предел среднего квадрата преобразования Фурье отрезка реализации ССП длительностью N отсчетов:

Здесь X n – отсчеты случайного процесса, t – шаг дискретизации, f – часто-

та.

Второе определение спектра мощности – через корреляционную функцию Kr случайного процесса:

3

P2 ( f ) Kr exp( j2 fr t) . (1.2)

r

Это выражение представляет собой дискретный аналог теоремы Винера

– Хинчина: спектр дискретного случайного процесса является дискретным преобразованием Фурье от его корреляционной функции.

1.2. Непараметрические оценки спектра мощности ССП

Когда речь идет об оценивании спектра мощности ССП, в распоряжении экспериментатора имеется конечное число N отсчетов анализируемого процесса. Если в формуле (1.1) убрать знак предела, а в формуле (2) пределы суммирования сделать конечными и равными N :

тогда мы получаем так называемые непараметрические оценки спектра мощности ССП – функции частоты, представляемые множеством отсчетов.

Периодограммой называется оценка спектральной плотности мощности вида:

m задает номер частоты, N – количество отсчетов X n .

Если при расчете спектра используется весовая функция (окно) n , n 0, , N 1 , полученная оценка спектра мощности называется модифициро-

Периодограмма не является состоятельной оценкой спектральной плотности мощности. Визуально это воспринимается как сильная изрезанность графика функции Pm . Очевидно, для уменьшения изрезанности периодограм-

мы необходимо применить какое-либо усреднение.

4

Бартлетт (Bartlett) предложил разделять анализируемый сигнал на не перекрывающиеся сегменты, вычислять для каждого сегмента периодограмму и затем эти периодограммы усреднять.

Если корреляционная функция сигнала на длительности сегмента затухает до пренебрежимо малых значений, то периодограммы отдельных сегментов можно считать независимыми.

Уэлч (Welch) внес в метод Бартлетта два усовершенствования: использование весовой функции и разбиение сигнала на перекрывающиеся фрагменты. Применение весовой функции позволяет ослабить растекание спектра и уменьшить смещение получаемой оценки СПМ ценой незначительного ухудшения разрешающей способности. Перекрытие сегментов введено для того, чтобы увеличить их число и уменьшить дисперсию оценки.

Вычисления при использовании метода Уэлча (он называется еще методом усреднения модифицированных периодограмм) организуются следующим образом: вектор отсчетов сигнала делится на перекрывающиеся сегменты, каждый сегмент умножается на используемую весовую функцию, для взвешенных сегментов вычисляются модифицированные периодограммы, периодограммы всех сегментов усредняются.

Метод Томсона (именуется также multitaper method (МТМ), т.е. «многоконусный метод»), основан на использовании вытянутых сфероидальных функций. Эти функции конечной длительности обеспечивают максимальную концентрацию энергии в заданной полосе частот.

1.3. Вычисление непараметрических оценок спектра мощности

В пакете Matlab реализованы три метода непараметрического оценивания спектра мощности ССП – периодограмма, метод Уэлча и метод Томсона

(MTM).

Вычисление периодограммы (в том числе модифицированной) производится с помощью функции periodogram, синтаксис которой имеет вид:

[Pxx,f] = periodogram(x, win, nfft, fd).

Входными данными этой функции являются массив x отсчетов ССП, массив отсчетов окна win, nfft – число точек быстрого преобразования Фурье (БПФ), fd – частота дискретизации. Выходные данные – массивы значений периодограммы Pxx и ее аргумента f. Если вместо параметров win и nfft поставлены пустые квадратные скобки [], тогда весовая функция - прямоугольник, а число точек БПФ берется равным ближайшей сверху степени двойки.

5

Метод Уэлча является наиболее популярным периодограммным методом спектрального анализа. В пакете Signal Processing он реализуется с помощью функции pwelch:

[Pxx,f] = pwelch(x, win, noverlap, nfft, fd),

где noverlap – число перекрывающихся отсчетов. Если вместо win, noverlap, nfft поставлены пустые скобки, тогда массив исходных делится на 8 сегментов со степенью перекрытия 50%, в качестве окна берется окно Хэмминга.

Метод Томпсона:

[Pxx,f] = pmtm(x, nw, nfft, fd),

где nw – параметр, характеризующий вытянутые сфероидальные функции, равный произведению их длительности на полосу частот. Если вместо значения nw поставить пустые скобки [], тогда по умолчанию принимается nw=4. На практике обычно принимают этот параметр равным 2, 5/2, 3 или 7/2.

Примечание: Если в приведенных выше функциях опускать левую часть, тогда график оценки спектра мощности строится автоматически. При этом автоматически применяется функция psdplot(Pxx, f, ‘units’, ‘yscale’, ‘title’). Ее можно вызывать и в явном виде – например, чтобы вывести график в линейном масштабе вместо принятого по умолчанию логарифмического или чтобы показать несколько спектров на одном графике.

Весовые функции (окна)

Весовые функции используются для управления эффектами, обусловленными наличием боковых лепестков в спектральных оценках (растеканием спектра). В данной лабораторной работе будут применяться типы окон, указанные в таблице 1.1.

Таблица 1.1

6