Материал: 5_Лекции_по_ТОЭ_20-и тд

Уравнения однородной линии в стационарном режиме

Под первичными параметрами линии будем понимать сопротивление , индуктивность , проводимость  и емкость , отнесенные к единице ее длины. Для получения уравнений однородной линии разобьем ее на отдельные участки бесконечно малой длины  со структурой, показанной на рис. 1.

П усть напряжение и ток в начале такого элементарного четырехполюсника равны u и i, а в конце соответственно  и .

Разность напряжений в начале и конце участка определяется падением напряжения на резистивном и индуктивном элементах, а изменение тока на участке равно сумме токов утечки и смещения через проводимость и емкость. Таким образом, по законам Кирхгофа

или после сокращения на

Теорию цепей с распределенными параметрами в установившихся режимах будем рассматривать для случая синусоидального тока. Тогда полученные соотношения при  можно распространить  и на цепи постоянного тока, а воспользовавшись разложением в ряд Фурье – на линии периодического несинусоидального тока.

Вводя комплексные величины и заменяя  на , на основании (1) и (2) получаем

где  и  - соответственно комплексные сопротивление и проводимость на единицу длины линии.

Продифференцировав (3) по х и подставив выражение  из (4), запишем

.

Характеристическое уравнение

,

откуда

.

Таким образом,

где  - постоянная распространения;  - коэффициент затухания;  - коэффициент фазы.

Для тока согласно уравнению (3) можно записать

где  - волновое сопротивление.

Волновое сопротивление  и постоянную распространения  называют вторичными параметрами линии, которые характеризуют ее свойства как устройства для передачи энергии или информации.

Определяя  и , на основании (5) запишем

Аналогичное уравнение согласно (6) можно записать для тока.

Слагаемые в правой части соотношения (7) можно трактовать как бегущие волны: первая движется и затухает в направлении возрастания х, вторая – убывания. Действительно, в фиксированный момент времени каждое из слагаемых представляет собой затухающую (вследствие потерь энергии) гармоническую функцию координаты х, а в фиксированной точке – синусоидальную функцию времени.

В олну, движущую от начала линии в сторону возрастания х, называют прямой, а движущуюся от конца линии в направлении убывания х – обратной.

На рис. 2 представлена затухающая синусоида прямой волны для моментов времени  и   . Перемещение волны характеризуется фазовой скоростью. Это скорость перемещения по линии неизменного фазового состояния, т.е. скорость, с которой нужно перемещаться вдоль линии, чтобы наблюдать одну и ту же фазу волны:

Продифференцировав (8) по времени, получим

Длиной волны  называется расстояние между двумя ее ближайшими точками, различающимися по фазе на  рад. В соответствии с данным определением

,

откуда

и с учетом (9)

.

В соответствии с введенными понятиями прямой и обратной волн распределение напряжения вдоль линии в любой момент времени можно трактовать как результат наложения двух волн: прямой и обратной, - перемещающихся вдоль линии с одинаковой фазовой скоростью, но в противоположных направлениях:

где в соответствии с (5)  и .

Представление напряжения в виде суммы прямой и обратной волн согласно (10) означает, что положительные направления напряжения для обеих волн выбраны одинаково: от верхнего провод а к нижнему.

Аналогично для тока на основании (6) можно записать

где  и .

Положительные направления прямой и обратной волн тока в соответствии с (11) различны: положительное направление прямой волны совпадает с положительным направлением тока  (от начала к концу линии), а положительное направление обратной волны ему противоположно.

На основании (10) и (11) для прямых и обратных волн напряжения и тока выполняется закон Ома

Рассмотрим теоретически важный случай бесконечно длинной однородной линии.

Бесконечно длинная однородная линия. Согласованный режим работы

В случае бесконечно длинной линии в выражениях (5) и (6) для напряжения и тока слагаемые, содержащие , должны отсутствовать, т.к. стремление  лишает эти составляющие физического смысла. Следовательно, в рассматриваемом случае . Таким образом, в решении уравнений линии бесконечной длины отсутствуют обратные волны тока и напряжения. В соответствии с вышесказанным