Материал: 4748
(5)
где N – число опытов. Выявить наличие или отсутствие корреляции между двумя величинами можно путем визуального анализа полей корреляции и оценкой величины выборочного коэффициента корреляции.
Для независимых случайных величин коэффициент корреляции равен нулю,
но он может быть равен нулю для некоторых зависимых величин, которые при этом называются некоррелированными. Коэффициент корреляции характеризует не всякую зависимость, а только линейную. Если случайные величины x и y связаны точной функциональной линейной зависимостью y b0 b1x , то rxy 1. В общем случае, когда величины связаны произвольной стохастической зависимостью, коэффициент корреляции может иметь значение в пределах 1 rxy 1. Регрессионный анализ –
предполагает (рассматривает) связь между зависимой (случайной) величиной y и независимыми (неслучайными) переменными x1,…,xi. Эта связь представляется с помощью математической модели, т. е. уравнения, которое связывает зависимую и независимую переменные. Обработка экспериментальных данных при использовании корреляционного и регрессионного анализа дает нам возможность построить статистическую математическую модель в виде уравнения регрессии.
Постановка задачи. По данной выборке объема n найти уравнение приближенной регрессии и оценить допускаемую при этом ошибку, то есть нужно найти y f (x) . Эта задача решается методами корреляционного и регрессионного анализа. По сгущениям точек (рисунок 2) можно найти
6
определенную зависимость, т.е. получить вид уравнения регрессии.
а) линейная б) нелинейная
Рисунок 2 - Виды регрессии Если разброс точек значительный, то регрессии не будет.
Следовательно, методы корреляционного и регрессионного анализа тесно связаны между собой. Вид уравнения регрессии зависит от выбираемого метода приближения. Обычно используется метод наименьших квадратов.
n |
|
n |
|
F | yi |
f (xi ) |2 min или |
F ( yi yˆi )2 min |
(6) |
i 1 |
|
i 1 |
|
где yi , yˆi |
- экспериментальные и расчетные значения выходного |
||
параметра, соответственно. Рассмотрим различные случаи приближенной регрессии.
ЛИНЕЙНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
(линейная регрессия от одного параметра)
При моделировании процессов в металлургии во многих случаях связь между входными (x) и выходными (y) параметрами можно аппроксимировать линейным полиномом (зависимостью). (7)
Для получения вида математической модели необходимо определить коэффициенты уравнения регрессии b0 и b1. Для этого применяется метод
n
наименьших квадратов. F ( yi b0 b1x )2 min (8)
i
i 1
Таким образом, процедура нахождения коэффициентов регрессии сводится к задаче определения минимума функции. Необходимое условие минимума
7
функции является равенство нулю частных производных функции по исходным величинам (коэффициентам).
(9)
(10)
(11)
Решая систему уравнений, выражаем коэффициенты b0 и b1.
(12)
(13)
После вычисления коэффициентов необходимо провести статистический анализ полученного уравнения регрессии с целью проверки модели на адекватность.
8
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ВИДЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ПОЛИНОМОВ
Параболическая регрессия.
При составлении статистических моделей часто возникает необходимость использовать уравнения нелинейной формы, в частности полином второй степени.
yˆ b |
b x |
b x2 |
min |
(14) |
0 |
1 i |
2 i |
|
|
Коэффициенты регрессии определяем по методу наименьших квадратов.
n |
|
|
F ( yi b0 b1xi |
b2 xi2 )2 min |
(15) |
i 1
Приравняем к нулю частные производные функции по коэффициентам b0, b1, b2.
(16)
Выполнив преобразования, получим систему линейных уравнений с тремя неизвестными (b0, b1,b2).
|
|
|
|
(17) |
Введем обозначения: |
|
|
|
|
; |
; |
; |
; |
(18) |
; |
|
; |
|
. |
С учетом принятых обозначений система будет иметь следующий вид:
9
(19)
Определим неизвестные коэффициенты b0, b1, b2.
(20)
(21)
(22)
После решения системы уравнений и вычисления коэффициентов b0, b1, b2 проводится статистический анализ полученного уравнения регрессии.
Аналогичным образом будут определяться коэффициенты параболы любого порядка. Исследование уравнения проводится по статистическим критериям.
Однако в этом случае не требуется вычислять выборочные коэффициенты корреляции. Адекватности уравнения регрессии эксперименту можно добиться, повышая степень полинома. Однако при этом все коэффициенты следует вычислять заново, так как существует корреляция между коэффициентами.
10