Материал: 4040

где n – число испытаний; Pi – вероятность попадания X в i-й частичный интервал, вычисленная при допущении, что X имеет предполагаемое распределение.

Если имеются основания предположить, что случайная величина X (генеральная совокупность) распределена нормально, то выравнивающие частоты могут быть найдены по формуле

Замечание 1

1) При использовании таблицы для вычисления значений функции ( õ )

следует учитывать, что эта функция четная, т. е. ( õ ) ( õ ).

2) Чтобы пользоваться таблицей значений функции ( õ ) , достаточно вычислять числа ti с двумя знаками после запятой.

Если эмпирическое распределение задано в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот, то для вычисления теоретических частот нормально распределенной случайной величины можно воспользоваться более точными формулами

частичного интервала разбиения, Ô( x) - функция Лапласа, значения которой находятся по таблице прил. 1.

28

Замечание 2

1) При использовании таблицы для вычисления значений функции Ô( x)

Построить полигон частот и нормальную кривую по данному распределению.

Тогда

xâ uo h uâ 35 5 ( 0,06 ) 34,7 ,

Вычислим выравнивающие частоты (табл. 12.2)

Т а б л и ц а 12.2

Первый и последний столбцы табл. 12.2 дают координаты точек ( õ , n ), i i

по которым строится кривая нормального распределения.

Рис. 12.1 Близость теоретических и эмпирических частот говорит в пользу

предположения о нормальном законе заданного распределения.

На рис. 12.1 построены нормальная (теоретическая) кривая по выравнивающим частотам (они отмечены крестиками) и полигон наблюдаемых частот (они отмечены точками). Сравнение графиков наглядно показывает, что построенная теоретическая кривая удовлетворительно отражает данные наблюдений. Для того чтобы более уверенно считать, что данные наблюдений свидетельствуют о нормальном распределении признака, пользуются специальными правилами, которые называют критериями согласия.

13. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ. КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ ПИРСОНА

Обычно в практических задачах не встречаются случайные величины, распределения которых точно соответствовали бы теоретическим распределениям. Последние представляют собой математические модели реальных распределений. Подбор таких моделей и анализ их адекватности моделируемым случайным величинам являются одной из основных задач

31

математической статистики. Эта задача в свою очередь сводится к проверке предположений (гипотез) о виде модели распределения и ее параметрах.

Статистической гипотезой (или просто гипотезой) называется любое предположение о генеральной совокупности, проверяемое по выборке.

Нулевой (основной) гипотезой H0 называется предположение, которое выдвигается изначально, пока наблюдения не заставят признать обратное.

Альтернативной (конкурирующей) гипотезой H1 называется гипотеза,

которая противоречит нулевой гипотезе и которую принимают, если отвергнута основная гипотеза.

Процедура сопоставления высказанного предположения (гипотезы) с выборочными данными называется проверкой гипотез.

Задачи статистической проверки гипотез:

относительно некоторой генеральной совокупности высказывается та или иная гипотеза Н;

из этой генеральной совокупности извлекается выборка;

необходимо указать правило, с помощью которого можно было по выборке

ответить на вопрос о том, следует ли отклонить гипотезу Н или принять ее.

Отметим, что статистическими методами гипотезу можно только опровергнуть или не опровергнуть, но не доказать.

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. В итоге статистической проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неправильное решение, т. е. могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.

Уровнем значимости называется вероятность совершить ошибку первого рода, т. е. отвергнуть правильную гипотезу. Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу H0 (или

32