Материал: 4040

7. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Пример 7.1. Независимые испытания производятся до тех пор, пока не появится событие А. Вероятность появления события А в каждом испытании 0,7. Максимальное число испытаний – 3. Составить ряд распределения числа произведенных испытаний. Найти числовые характеристики этой случайной величины. Какова вероятность, что произойдет не более двух испытаний?

Решение. Случайная величина X – число произведенных испытаний – может принимать следующие значения: x1=1, x2=2, x3=3.

Случайная величина X примет значение x1=1, когда событие А произойдет в первом испытании.

P(X=1) =P (A) =0,7.

Случайная величина X примет значение x2=2, если событие А не произойдет в первом испытании, но произойдет во втором.

P(X=2) =P ( A A) = 0,3 0,7 =0,21.

Случайная величина X примет значение x3=3, если событие А не появиться ни при первом, ни при втором испытании. Так как число испытаний не более трех, то не важно произойдет событие А в третьем испытании или нет.

P(X=3) =P ( A A ) = 0,3 0,3 0,09 .

Составим ряд распределения случайной величины X.

n

Проверим тождество pi 1. Действительно, 0,7+0,21+0,09=1.

i 1

Найдем числовые характеристики случайной величины X.

M(X) =1 0,7 2 0,21 3 0,09 1,39 .

Для вычисления дисперсии применим формулу

D(X) =M(X2) – (M(X))2.

Составим ряд распределения случайной величины X2:

Найдем математическое ожидание случайной величины X2:

M(X2) =1 0,7 4 0,21 9 0,09 2,35 .

D(X) 2,35 (1,39)2 2,35 1,9321 0,4179 .

(X) D(X) 0,4179 0,646 .

Пусть событие В – произойдет не более двух испытаний, т. е. произойдет или одно, или два испытания.

P(B)=P(X=1)+P(X=2)=0,7+0,21=0,91.

18

8. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Пример 8.1. Случайна величина Х задана функцией распределения

Найти:

1)вероятность P(1 X 2) ;

2)плотность вероятности f(x);

3)математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).

Решение.

1) Воспользуемся формулой P (a < X < b) = F (b) – F (a). По условию a=1, b=2. Следовательно, искомая вероятность

P(1 X 2) F(2) F(1) 14 22 14 12 34 .

2) Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:

9. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону, если еѐ плотность распределения вероятностей задается функцией

квадратическое отклонение.

График функции f (x) называют нормальной кривой или кривой Гаусса.

Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу ( , ) , равна

Ф( x) Ф(x).

f(x)

1

2

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения нормально распределенной случайной величины Х от своего математического ожидания будет меньше положительного числа 0, равна

20

Пример 9.1. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины Х равно М(Х)=8 и дисперсия D(X)=9. Написать плотность вероятности Х. Найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (1, 6).

Решение. Так как случайная величина Х имеет нормальное распределение, то еѐ плотность имеет вид:

где a M(X)=8, D(X) = 9 3 .

Тогда

f (x) 3 12 e (x 8)2 / 18 .

Вычислим вероятность того, что случайная величина Х будет принимать значения из интервала (1, 6):

10. ВЫБОРОЧНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ

Пусть х1, у1 , х2 , у2 , õ3 , ó3 , … , õï , óï выборка объема n для двух случайных величин Х и Y.

Выборочным коэффициентом корреляции называется величина

n i 1

â X и â Y – выборочные средние квадратические отклонения случайных величин X и Y соответственно.

21

Коэффициент корреляции представляет собой меру линейной зависимости случайными величинами X и Y .

Свойства коэффициента корреляции

1. Коэффициент корреляции rxy является безразмерной величиной и его

значение не зависит от единиц измерения случайных величин Х и Y.

2. Абсолютная величина коэффициента корреляции rxy не превышает единицы: -1 ≤ rxy ≤ 1 .

3. Если 0< rxy <1 , то случайные величины Х и Y положительно

коррелируемы, то есть с ростом одной величины вторая в среднем также растет (прямая корреляционная зависимость).

4. Если -1< rxy <0, то случайные величины Х и Y отрицательно

коррелируемы, то есть с ростом одной величины вторая в среднем убывает (обратная корреляционная зависимость).

5.Если rxy =0, то случайные величины Х и Y являются

некоррелированными.

6. Если rxy = ±1 , то между случайными величинами Х и Y имеется точная линейная зависимость.

Качественная оценка корреляционной связи между случайными величинами может быть выявлена на основе шкалы Чеддока (табл. 10.1).

Практическая значимость коэффициента корреляции определяется его величиной, возведенной в квадрат, получившая название коэффициента детерминации.

22