Материал: 33_Rezhimy_post_i_sin_toka_v_LETs_2014

где g11, g22 – собственные (узловые) проводимости узлов 1 и 2, каждая из ко-

торых равна сумме проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле (проводимость ветви, содержащей источник тока, равна нулю);

g12 = g21 – общая проводимость – взятая со знаком «минус» сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы 1 и 2;

J11, J22 – задающие (узловые) токи узлов 1 и 2, каждый из которых равен алгебраической сумме произведений ЭДС на проводимости ветвей, в которых они находятся (рассматриваются ветви, подключенные к данному узлу), и алгебраической сумме токов источника тока, подключенных к данному узлу. Знаки слагаемых: «плюс» – если направление ЭДС (источника тока) к узлу, «минус» – если направление ЭДС (источника тока) от узла.

2.3.1. Последовательность определения токов ветвей методом узловых потенциалов

1) Записывается система уравнений в общем виде. Число уравнений системы на единицу меньше числа узлов схемы. Если в схеме содержится ветвь с источником ЭДС без сопротивлений (рис. 2.8), то 2 1 E. Приняв 1 0, получим 2 E. В этом случае уравнение для известного потенциала не составляется и общее количество уравнений сокращается на единицу при неизменном количестве слагаемых в левой части системы уравнений.

25

4)Выбираются направления токов ветвей.

5)Определяются токи ветвей.

При выборе способа расчета той или иной цепи лучшим, как правило, считается тот, который требует решения меньшего количества уравнений.

Метод узловых потенциалов с этой точки зрения обладает преимуществами в тех случаях, когда число узлов схемы меньше количества контуров. В качестве примера, подтверждающего это положение, приведена схема на рис. 2.9.

Данная схема имеет четыре независимых контура и два узла. Применяя непосредственно законы Кирхгофа, пришлось бы решать систему из пяти уравнений. Метод контурных токов требует решения четырех уравнений. По методу узловых потенциалов достаточно решить только одно уравнение для определения потенциала верхнего узла φ:

0

Рис. 2.9. Схема электрической цепи с двумя узлами

Поскольку потенциал нижнего (базисного) узла равен нулю, то потенциал φ численно равен напряжению на каждой из параллельных ветвей, поэтому нахождение значений токов ветвей – простая задача.

26

2.4. Принцип компенсации

В соответствии с теоремой компенсации участок цепи с сопротивлением r и током I можно заменить ЭДС, равной rI и направленной встречно току.

Действительно, например, для схемы на рис. 2.10, а уравнение по второму закону Кирхгофа запишется в виде:

Переместив слагаемое rI в правую часть уравнения (2.18) и введя замену E = rI, получим уравнение

которому соответствует схема на рис. 2.10, б.

а б Рис. 2.10. Пример использования принципа компенсации

Принцип компенсации можно использовать и в обратном направлении: ЭДС, возникающую в цепи, можно заменить падением напряжения, равным ей по модулю и направленным в противоположную сторону. В такой формулировке принцип компенсации используется, например, при расчете цепей переменного тока для работы с ЭДС самоиндукции.

2.5. Метод активного двухполюсника (эквивалентного источника или генератора)

При расчете линейных электрических цепей возможна замена части цепи, содержащей источники ЭДС и тока, относительно зажимов выделенной ветви ab (рис. 2.11, а) активным двухполюсником, состоящим из последовательно соединенных ЭДС и сопротивления. В этом случае указанную ветвь можно рассматривать как нагрузку эквивалентного источника с ЭДС Еэ и сопротивлением rэ.

27

Эквивалентная ЭДС Еэ равна напряжению на зажимах аb при разомкнутой ветви rн, т. е. напряжению холостого хода Uх.х. Сопротивление rэ равно входному сопротивлению цепи относительно зажимов аb при разомкнутой ветви rн. Источники напряжения и тока при этом исключаются из схемы (прил. 1).

Эквивалентные параметры Еэ и rэ могут быть определены опытным путем из режимов холостого хода (рис. 2.11, б) и короткого замыкания (рис. 2.11, в):

Рис. 2.11. Последовательность схем для метода эквивалентного источника

Обратимся к схеме на рис. 2.12, а и поставим задачу заменить ее простейшей эквивалентной схемой, представленной на рис. 2.12, б, при условии неизменности тока Iн в сопротивлении rн.

Эквивалентная ЭДС Еэ определяется по схеме, приведенной на рис. 2.13, а. Ток в сопротивлении r2 на схеме рис. 2.13, а отсутствует, поэтому

r1I1x.x . Ток в контуре r, E, r1

и напряжение холостого хода, а соответственно и эквивалентная ЭДС

28

Эквивалентное сопротивление rэ определяется по схеме на рис. 2.13, б. Зажимы а и b при этом считаются входными:

Рис. 2.12. Метод эквивалентного источника:

а – исходная расчетная схема; б – схема с эквивалентными параметрами

Метод эквивалентного источника не относится к числу основных методов анализа электрических цепей. Этот метод удобен в случае, когда интерес представляет только один из токов в цепи, или при физическом моделировании

29