Материал: Введение в функциональный анализ (60
Федеральное агенство по образованию Государственное образовательное учреждение Высшего профессионального образования
«Казанский государственный технологический университет»
В. А. Курчатов, В. Р. Ризаев
Введение в функциональный анализ
Методические указания
Казань, КГТУ
2008
Составители: доц. В. А. Курчатов доц. В. Р. Ризаев
Введение в функциональный анализ: методические указания / сост. В.
А. Курчатов, В. Р. Ризаев – Казань: Издательство |
Казанского |
Государственного технологического университета, 2008.- |
с. |
Изложены основные понятия функционального анализа для студентов магистратуры (Индекс учебной дисциплины – ЕН.01 Математика)
Подготовлены на кафедре высшей математики.
Печатаются по решению методической комиссии по циклу физико- математических дисциплин.
Рецензенты: проф. Ю. В. Малышев проф. Н. К. Нуриев
ВВЕДЕНИЕ
Методическая разработка знакомит студентов магистратуры КГТУ с основными понятиями функционального анализа, как естественного обобщения математического анализа, когда вместо числовой переменной используются переменные более сложной структуры – многокомпонентные вектора, матрицы и другие функции и операторы от них.
Методическая разработка предназначена студентам магистратуры КГТУ. Она будет полезна им при изучении операторов квантовой химии.
1. Банаховы пространства
Множество L элементов x, y, z,… некоторой природы называется линейным пространством, если для элементов пространства определены операции сложения и умножения на вещественное число, подчиненные обычным законам алгебры, установленными для сложения и умножения чисел.
Линейное пространство называется нормированным, когда для каждого элемента x пространства определено неотрицательное число 
x
, называемое нормой, обладающее свойствами длины вектора. С
помощью норм вводится расстояние между элементами и, следовательно, наличие нормы позволяет определить сходимость
последовательности |
элементов |
{ xn } по |
норме. |
|
Говорят, |
что |
||||||||||||||||
последовательность { xn } сходится к элементу x, если |
|
xn − x |
|
|
|
|
→ 0 при |
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
n → ∞, |
и символически |
это |
записывают |
так: lim |
xn = x , |
|
|
или |
||||||||||||||
xn → x , |
при n → ∞ . |
|
|
|
n→∞ |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Линейное нормированное пространство называется полным, |
||||||||||||||||||
или |
|
банаховым (кратко |
В-пространством), если |
|
из того, |
что |
||||||||||||||||
lim |
|
|
|
xn+ p − xn |
|
|
|
= 0, |
где |
p-любое |
натуральное |
число, |
следует |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
сходимость последовательности { xn } |
к элементу x, принадлежащему |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рассматриваемому пространству.
Влинейном пространстве нормы можно вводить по-разному.
Вконечномерном линейном нормированном пространстве любые две нормы эквивалентны, т.е. из сходимости последовательности к элементу x по одной норме следует ее сходимость и по другой.
Мы будем рассматривать вещественные пространства, т.е. пространства, в которых допускается умножение элементов на вещественные числа. Если в пространстве определено умножение элементов на комплексные числа, то такие пространства называются
комплексными.
Приведем примеры банаховых пространств.
1.Множество вещественных чисел с нормой 
x
= x , очевидно,
является пространством типа В.
2.Пространство n-мерных векторов x = (ξ1,...,ξn ) , в котором
сложение и умножение вектора на скаляр проводится по компонентам, представляет собой пространство типа В, если за
норму принять |
длину вектора |
|
x |
|
|
|
|
|
= |
|
ξ 2 + ... + ξ 2 , |
или |
длину |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
максимальной компоненты |
|
|
|
x |
|
|
|
= max |
|
ξi |
|
(n-мерные пространства с |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
такими нормами обозначим соответственно Rn |
и m ). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
Сходимость |
x |
= (ξ (k ) |
,...,ξ (k ) ) → x = (ξ ,...,ξ |
n |
) |
в |
|||||||||||||||||||
|
|
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
1 |
|
|
||||||||||
пространствах |
Rn и m |
означает покоординатную сходимость, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. ξ (k ) → ξ |
при k → ∞ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Пространство C [ a , b ] - множество непрерывных функций на
отрезке a ≤ x ≤ b , c нормой |
|
x |
|
= max |
|
x (t ) |
|
, является |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
a≤t≤b |
|
|
|
|
пространством типа В. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Сходимость элементов |
xk (t ) → x (t ) в пространстве C [ a , b ] |
||
есть |
равномерная |
сходимость |
функциональной |
последовательности { xk (t )} .
4.Пространство L2 -множество интегрируемых c квадратом на
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
1/ 2 |
||
отрезке a ≤ x ≤ b функций x(t) , с нормой |
|
x |
|
|
|
= |
∫ x2 (t )dt |
, |
|||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
тоже является пространством типа В. Сходимость в этом |
|||||||||||
пространстве − сходимость в среднем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2. Операторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть X и Y – |
банаховы пространства. Говорят, что |
в |
|||||||||
пространстве X определен оператор Р со значениями в пространстве Y, |
|||||||||||
если каждому элементу |
x X |
соответствует |
элемент |
y Y . Для |
|||||||
обозначения оператора Р, действующего из пространства X в Y, |
|||||||||||
вводится символ P : X → Y . В |
частности, если Y – |
пространство |
|||||||||
вещественных чисел, то Р называется функционалом. |
|
xn → x |
|
||||||||
Оператор Р называется непрерывным, если из |
в |
||||||||||
пространстве Х следует, что P ( xn ) → P ( x) в пространстве Y. |
|
||||||||||
Оператор Р называется линейным, если: а) аддитивен, т.е.
б) непрерывен.
Линейный оператор обладает свойством однородности, т.е.
P (λ x) = λ P ( x) , λ = const.
Для линейного оператора условие непрерывности эквивалентно существование такой постоянной С, что для всех x X имеет место неравенство
P ( x) |
|
≤ C |
|
|
|
x |
|
|
|
. |
(2.1) |
|
|
|
|
|
|||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|