Материал: Векторы

Где a_x, a_y и a_z - проекции вектора a на координатные оси - называются координатами вектора.

Если вектор имеет координаты a_x, a_y, a_z, то это обозначается так:

{a_x, a_y, a_z} или (a_x, a_y, a_z).

Если вектор имеет начало в начале координат,

а его конец A имеет координаты x, y и z, то тогда его проекции на координатные оси равны координатам его конца:

a_x = x; a_y = y; a_z = z.

В этом случае вектор называется радиусом-вектором точки A.

Радиус-вектор точки обозначается обыкновенно через (см. рисунок):

     (11)

а модуль радиуса-вектора точки A(x, y, z) вычисляется по формуле

     (12)

15. Углы, образуемые вектором с координатными осями Ox, Oy и Oz, определяются из формул (3) и (4):

      (13)

Косинусы, определяемые по этим формулам, называются направляющими косинусами вектора .

Для направляющих косинусов вектора имеет место формула

      (14)

т. е. сумма квадратов косинусов углов, образуемых вектором с тремя взаимно перпендикулярными осями, равна единице.

Если , т. е. если - единичный вектор, обозначаемый обыкновенно , то его проекции на координатные оси вычисляются по формулам

     (15)

т. е. проекции единичного вектора на оси прямоугольной системы координат Ox, Oy и Oz равны соответственно направляющим косинусам этого вектора. Имеет место формула

     (16)

16. Если даны два вектора

То сумма векторов, заданных координатами, равна

и

     (17)

17. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов и обозначается символом .

Если обозначить угол между векторами и через , для скалярного произведения будем иметь

     (18)

Из формулы (8) следует, что скалярное произведение двух векторов и - это произведение модуля одного из них на проекцию второго на направление первого вектора (см. рисунок):

     (19)

откуда .

Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю, так как в

этом случае .

Скалярное произведение имеет свойства, аналогичные свойствам произведений чисел:

(переместительное свойство умножения);

(распределительное, или дистрибутивное свойство произведения).

Если векторы и заданы проекциями на координатные оси

то их скалярное произведение вычисляется по формуле

     (20)

а косинус угла между этими векторами определяется по формуле

     (21)

Если углы, образуемые вектором с координатными осями, обозначить через ,

а углы, образуемые вектором с координатными осями, - через ,

то косинус угла между векторами и определяется по формуле

     (22)

Если векторы и перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, и тогда

a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = 0,     (23)

или

     (24)