Реферат: Роль идентификации в управлении техническими и технологическими объектами

Рис. 5. Схема процесса идентификации.

Пусть для одномерного объекта, характеристикой которого является оператор A_t [см. рис. 5 и уравнение (3)], могут быть измерены случайные функции входа X(t) и выхода Y(t). Тогда задача идентификации сводится к определению оператора A_t по результатам измерения входной и выходной случайных функций. Точнее, ставится задача определения не самого оператора Аи а его оценки A_t^*. Например, оценка коэффициентов в дифференциальных уравнениях (7) или (10), оценка весовой функции в (8) или (11), частотной характеристики в (9) или (12) по результатам измерений X(t) и Y(t). Оценка оператора A_t^* используется в качестве характеристики неизвестного оператора A_t. Разумно потребовать близость оценки оператора A_t^* к истинному значению оператора A_t в смысле некоторого критерия, т. е. должно быть выполнено требование близости случайных функций Y^*(t) - выхода модели [Л. 161]

^*(t)=A_t^*x(s)(24)

к случайной функции Y(t), являющейся выходной переменной объекта.

Для решения задачи вводится функция . которая зависит от Y(t) и Y^*(t) и не зависит от оператора A_t.

Выбор этой функции зависит от принятого критерия оптимальности. Функция  обычно называется функцией потерь. Для решения поставленной задачи на математическое ожидание этой функции накладывается требование минимума

,(25)

и в этом смысле понимается близость оценки A_t^* к истинному значению оператора A_t. Математическое ожидание от функции потерь обычно называют средним риском, а критерий оптимальности (25) - критерием минимума среднего риска [Л. 205]. Соотношение (25) будет выполнено, если потребовать минимум математического ожидания функции  при заданной реализации случайной функции x(s), т. е.

.(26)

Условие минимума соотношения (25) имеет вид:

.(27)

При идентификации объектов управления в большинстве практических случаев ищется оптимальный оператор по критерию минимума среднего квадрата ошибки, т. е. принимают:

.(28)

Тогда из условия (26) получим следующее уравнение для определения оптимальной в смысле минимума среднего квадрата ошибки оценки оператора A_t:

.(1 -29)

Из уравнения (29) видно, что оператор условного математического ожидания, т. е. регрессия выходной переменной Y(t) относительно входной X(t), дает оптимальный в смысле критерия (28) оператор объекта в классе всех возможных операторов.

Если ограничиться линейным описанием объекта, т. е. оптимальный оператор искать в классе линейных операторов, то из (29) путем умножения на входную случайную функцию получим:

.

Применение операции математического ожидания к обеим частям последнего равенства дает:

(30)

Поскольку A^*_t ищется в классе линейных операторов, то оператор математического ожидания М коммутативен с оператором A^*_t при самых общих предположениях. Тогда из (30) получим следующее уравнение для определения оптимальной оценки оператора A_t в классе линейных, операторов по критерию минимума среднего квадрата ошибки:

.(31)

Если, не ограничивая общности, предположить, что математические ожидания случайных функций входа X(t) и выхода Y(t) равны нулю, т. е. M{X(t)}=0 и M{Y(t)}=0, то (31) может быть записано в виде

(32)

или весовая функция g(t, s) объекта определяется из следующего интегрального уравнения:

,(33)

где K_xx(s, v) - автокорреляционная функция случайной функции X(t); K_yx(t, v) - взаимная корреляционная функция случайных функций Y(t) и X(t); Т - интервал времени наблюдения.

Таким образом, оптимальная оценка весовой функции по критерию минимума среднего квадрата ошибки определена соотношениями (32) или (33) для модели линейного объекта, описываемого уравнением (7).

В частном случае, когда случайные функции Y(t) и X(t) являются стационарными и стационарно связанными, оптимальная оценка оператора определяется из уравнения

,(1-34)

а весовая функция (при бесконечном интервале наблюдения) из интегрального уравнения Винера - Хопфа

(35)

Модель объекта в этом случае дается уравнением (11). Общей характеристикой многомерного объекта является оператор A_t, устанавливающий соответствие между векторными случайными функциями Y(t) и X(s). По результатам измерения X(s) и Y(t) определяется оценка A^*_t оператора A_t. При этом накладывается требование близости оценки A^*_t истинному значению A_t в смысле какого-либо критерия, т. е. должно быть выполнено требование близости векторной случайной функции на выходе модели Y^*(t)

(36)

к векторной выходной переменной объекта Y(t) (рис. 6).

Рис. 6. Схема идентификации многомерного объекта.

Для определения оптимального оператора по критерию минимума среднего квадрата ошибки в этом случае функция потерь принимает вид:

,(37)

где веса w_i определяются значимостью каждой из выходных переменных y_i(t), (i = 1, 2, ..., m).

Для выполнения условия (36) достаточно, чтобы

, (38)

т. е. достаточно минимума математического ожидания функции  при фиксированных реализациях случайных функций x₁(t), ..., x_n(t).

Оптимальную оценку оператора A_t по критерию минимума среднего квадрата ошибки получим из множественной регрессии рассматриваемой выходной переменной Y_i(t) относительно всей совокупности входных переменных X₁(s), ..., X_n(s) для всех аргументов s в области Т:

.(39)

Соотношение (39) дает возможность получить наилучшую в смысле минимума среднего квадрата ошибки оценку оператора A_t для любого числа входных переменных в классе всех возможных операторов.

Если ограничиться классом линейных операторов, то для определения оптимальных оценок A_t по критерию минимума среднего квадрата ошибки получим из (39) систему уравнений, включающих автокорреляционные и взаимные корреляционные функции рассматриваемых переменных. Для весовых функций система уравнений примет вид:

(40)

где  - автокорреляционные, а  и  - взаимные корреляционные функции соответствующих входных и выходных переменных. Из (40) можно получить систему уравнений для случая, когда Y(t) и X₁(s), ..., X_n(s) являются стационарными и стационарно связанными случайными функциями (см. гл. 3).

Рассмотренная задача идентификации может быть обобщена на объекты с распределенными параметрами. Пусть на входе объекта действует векторная случайная функция X(s) [X₁(s), ..., X_i(s), ..., X_n(s)], состояние объекта характеризуется векторным случайным полем , а на выходе объекта имеем векторную случайную функцию Y(t) [Y₁(t), ..., Y_j(t), ..., Y_m(t)].

Литература

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования, издание третье, исправленное. Москва, издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 2005

. Зайцев Г. Ф. Теория автоматического управления и регулирования.- 2-е изд., перераб. и доп. Киев, Издательство Выща школа Головное издательство, 2014

. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные системы. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2013. - 288 с. - ISBN 5-9221-0379-2.

. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т. 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы: Учеб. пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014. - 64 с. - ISBN 5-9221-0534-5.

. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления/ Под редакцией В.А. Бесекерского. - M.: Наука, 2013.