Признак делимости на 25: число делится на 25 тогда, когда две последние цифры этого числа представляют собой число, делящееся на 25.
|
Делится ли число на 25 |
Запишем по правилу |
Вывод |
|
|
875 |
875= 800 + 70 + 5 = = 100•8 + 10•7 + 5 = =100•8 + (10•7 + 5) |
(10•7 + 5) представляет собой число 75, а это число делится на 25. Значит, и число 875 делится на 25. |
|
|
427 |
427 = 100•4 + (10•2 + 7). |
(10•2 + 7) представляет собой число 27, а это число не делится на 25. Значит, число 427 не делится на 25. |
Сформулируем ещё несколько признаков делимости чисел.
Признак делимости на 6: для того чтобы число делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3, т.е. чтобы его последняя цифра была четной и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.
234:2=117 2+3+4=9:3, значит 234 делится на 6
Признак делимости на 12: для того чтобы число делилось на 12, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4 и на 3.
108:4=27 108:3= 1+0+8= 9:3, значит 108:12=9
Признак делимости на 15: для того чтобы число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 5 и на 3, т.е. чтобы оно оканчивалось нулем или пятеркой и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.
Признак делимости на 13: число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13.
858 делится на 13, так как 85 - 9·8 = 13 делится на 13.
Задачи для самостоятельного решения
1. Делится ли на 9 тридцатизначное число, у которого первая цифра 8, последняя 1, а остальные цифры равны нулю?
РЕШЕНИЕ: 8000….1. Найдем сумму цифр 8+0+0+…+0+1=9, сумма цифр делится на 9, значит и само число делится на 9
2. Делится ли на 81 число, записанное 81 единицей?
РЕШЕНИЕ:
3. При делении на 2 число дает в остатке 1, а при делении на 3 - остаток 2. Какой остаток дает число при делении на 6?
РЕШЕНИЕ:
4. Цифры трехзначного числа записали в обратном порядке и из большего вычли меньшее. Докажите, что разность делится на 9 и на 11.
РЕШЕНИЕ:
5. Выписали подряд все цифры от 1 до 9 включительно, а затем от 9 до 1. Будет ли полученное число делиться на 9?
РЕШЕНИЕ:
6. Выписали подряд натуральные числа, начиная с 1 и заканчивая числом 11. будет ли полученное число кратно 9?
РЕШЕНИЕ:
7. К числу 43 припишите справа и слева по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45.
РЕШЕНИЕ:
8. Какие из данных чисел 384123, 108675, 138963, 903150 делятся на: 3; на 4; на 9; на 25?
РЕШЕНИЕ:
9. Сократите дробь:
РЕШЕНИЕ:
10. Вместо звёздочек поставьте некоторые числа так, чтобы число 5*4* делилось на 9 и на 4. Найдите все возможные решения.
РЕШЕНИЕ:
11. Какие из данных чисел 7194, 18456, 36735, 17214, 781120 делятся: на 6; на 15; на 12?
РЕШЕНИЕ:
Заключение
В данной работе мной рассмотрено понятие делимости чисел, некоторых его свойств, признаков делимости и задачи, решение которых связано с ними.
При написании данной творческой работы я изучил большое количество дополнительной научной литературы по теме «Признаки делимости», расширил и углубил свои знания по данному вопросу, овладел простейшими и более сложными признаками делимости чисел.
Рассмотрев различные признаки делимости чисел, я убедился, что знание этих признаков существенно поможет при вынесении общего множителя за скобки, упрощении выражений, сокращении дробей, а так же значительно сэкономит время в получении ответа на вопрос, об определении делимости числа, не прибегая к самому действию деления.
Работа имеет практическое применение. Ее могут использовать учителя, как при проведении уроков по математике, так и на факультативных курсах и дополнительных занятиях на повторение. Данная работа будет полезна и для учащихся при самостоятельной подготовке к экзаменам по математике и для учеников, целью которых стали высокие места на олимпиадах.
Приложение. Таблица «Признаки делимости чисел»
|
на 2 |
На 2 делятся те, и только те натуральные числа, запись которых оканчивается на четные цифры (0,2,4, 6,8) |
|
|
на 3 |
На 3 делятся те, и только те натуральные числа, сумма цифр которых делится на 3 |
|
|
на 4 |
На 4 делятся те, и только те натуральные числа, в записи которых последние две цифры образуют число, делящееся на 4 |
|
|
на 5 |
На 5 делятся те, и только те натуральные числа, запись которых оканчивается на 0 или на 5. |
|
|
на 6 |
На 6 делятся те, и только те натуральные числа, которые оканчиваются чётной цифрой, и сумма цифр делится на 3 |
|
|
на 8 |
На 8 делятся те, и только те натуральные числа, в записи которых три последние цифры образуют число, делящееся на 8 |
|
|
на 9 |
На 9 делятся те, и только те натуральные числа, сумма цифр которых делится на 9 |
|
|
на 10 |
На 10 делятся те, и только те натуральные числа, запись которых оканчивается на 0 |
|
|
на 11 |
На 11 делится то число, когда разность между суммой цифр, стоящих на чётных местах, и суммой цифр, стоящих на нечётных местах, делится на 11. |
|
|
на 12 |
На 12 делятся те, и только те натуральные числа, в записи которых две последние цифры образуют число, делящееся на 4 и сумма цифр числа делится на 3. |
|
|
на 13 |
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13. |
|
|
на 15 |
На 15 делятся те, и только те натуральные числа, запись которых оканчивается на 0 или на 5 и сумма цифр делится на 3 |
|
|
на 25. |
Для того чтобы натуральное число содержащее не менее трёх цифр, делилось на 25 необходимо и достаточно, чтобы делилось на 25 число, образованное двумя последними |
Список литературы
1. Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2008.
2. Воробьев Н.Н. Признаки делимости.- 4-е изд., испр.- М.: Наука, 2008.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 2006.
4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: дополнительные главы к школьному учебнику 8 класс. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. - М.: Просвещение, 2007.
5. Никольский С.М. Арифметика 5 класс: учебник для общеобразовательных школ. - М.: издат. отдел УНЦ ДО МГУ, 2003.
6. Фридман Л.М. Изучаем математику. Кн. для учащихся 5-6 кл. - М.: Просвещение, 2005.