Курсовая работа (т): Применение систем компьютерного моделирования (СКМ) для исследования математической модели RLC-цепи

Вычисление приближений уп искомого решения у(х) по формуле (6) представляет собой обыкновенный метод Эйлера. Этот метод дает весьма грубое приближение решения задачи Коши. Он обычно используется в случае, когда необходимо получить примерное представление о решении на небольшом промежутке. Если функция f(x, у) в уравнении (1) на некотором отрезке в рассматриваемой области непрерывна по х и удовлетворяет условию Липшица

                   (7)

1.3.2 Метод Рунге - Кутта

Метод Рунге-Кутта является одним из наиболее употребительных численных методов повышенной точности. Низкая точность метода Эйлера связана в первую очередь с тем, что остаточный член формулы Эйлера велик.

Очевидно, что для уменьшения погрешности вычисления необходимо увеличить количество учитываемых членов в формуле Тейлора. Наиболее распространенным является метод Рунге-Кутта 4-го порядка, в котором учтены производные до 4-го порядка включительно. Метод Эйлера можно рассматривать как метод Рунге-Кутта 1-го порядка. Метод Рунге-Кутта требует большого объёма вычислений, однако расчёт оказывается более точным, чем расчёт по методу Эйлера с тем же шагом.

Величина погрешности метода оценивается с помощью правила Рунге. Значение оценки Рунге состоит в том, что погрешность оценивается через величины, получаемые непосредственно в процессе счёта. На этой формуле основан метод автоматического выбора шага в процессе счёта в стандартных программах. Методы Рунге-Кутта обладают следующими свойствами:

а) Эти методы являются одноступенчатыми: чтобы найти уm+1, нужна информация о предыдущей точке xm ,ym.

б) Они согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка hp, где степень р различна для различных методов и называется порядковым номером или порядком метода.

в) Они не требуют вычисления производных от f (x,y), а требуют вычисления самой функции.

Наиболее точный метод решения - метод Рунге-Кутта 4 порядка, один из самых употребляемых методов интегрирования дифференциальных уравнений.

этот метод является одноступенчатым и одношаговым;

требует информацию только об одной точке;

имеет небольшую погрешность;

значение функции рассчитывается при каждом шаге.

Формулы, описывающие классический метод Рунге-Кутта четвертого порядка, состоят из следующих пяти соотношений:

ym+1=ym+h/6(R1+2R2+2R3+R4)                                                   (8)=f(xm,ym)                                                                                   (9)=f(xm+h/2,ym+hR1/2)                                                                 (10)=f(xm+h/2,ym+hR2/2)                                                               (11)=f(xm+h/2,ym+hR3/2)                                                               (12)

Ошибка ограничения для этого метода равна et=kh5

Значит формулы 8 - 12 описывают метод Рунге-Кутта четвертого порядка. Однако при использовании этого метода функцию необходимо вычислять четыре раза.[3]

2. Алгоритмический анализ задачи

.1 Полная постановка задачи

В данной курсовой работе необходимо применить СКМ для исследования математической модели RLC-цепи

С использованием системы MathCAD

Рассчитать значения функций тока на катушке индуктивности и напряжения на конденсаторе в заданной электрической схеме под воздействием начальных значений тока и напряжения без учета ЭДС. Построить графики этих функций.

Рассчитать значения функций тока на катушке индуктивности и напряжения на конденсаторе в заданной электрической схеме с различными значениями ЭДС. Построить графики этих функций.

Для функции напряжения, полученной в п.1.2 при ЭДС1, исследовать влияние сопротивления R1 на максимальное значение напряжения на конденсаторе. Построить на одном поле графики токов, полученные при разных значениях варьируемого параметра.

Для функции напряжения, полученной в п.1.2, вычислить время, при котором напряжение пересекает пороговое значение равное 0.1 В.

2.2 Описание математической модели

Исходными данными для выполнения поставленной цели будут являться:

А) Дифференциальные уравнения, описывающие колебания напряжения u(t) и тока i(t) в генераторе, записываемые в виде:

где t - время;

L и C - индуктивность катушки и емкость конденсатора;

R1 , R2 , R3 , R4 - сопротивление источника питания и обмотки катушки индуктивности;

E - источник ЭДС.

Б) Численные значения используемых данных:

-       Е1= 10sin450t (В) - значение ЕДС;

-       E2= Asin150t+Bsin(210t) - значение ЕДС;

-       R1=5 (Ом)

-       R2= 10 (Ом)

-       R3=10 (Ом) - сопротивление;

-       R4 =3 (Ом)

-       C = 2∙10-3 (Ф) - исходная емкость;

-       L = 0,4 (Гн) - исходная индуктивность;

-       UC1 = 0,1 (В) - начальное значение напряжения;

-       i0 = 0 (А) - начальное значение тока;

-       Т= 0,1 (с)- время исследования.

Схема электрической цепи представлена на рисунке 1.

Рисунок 1 - Схема электрической цепи

2.3 Анализ исходных и результирующих данных

Для решения данных уравнений необходимо задать данные, для решения дифференциальных уравнений:

-       Е1= 10sin450t (В) - значение ЕДС;

-       E2= Asin150t+Bsin(210t) - значение ЕДС;

-       R1=5 (Ом)

-       R2= 10 (Ом)

-       R3=10 (Ом) - сопротивление;

-       R4 =3 (Ом)

-       C = 2∙10-3 (Ф) - исходная емкость;

-       L = 0,4 (Гн) - исходная индуктивность;

-       UC1 = 0,1 (В) - начальное значение напряжения;

-       i0 = 0 (А) - начальное значение тока;

-       Т= 0,1 (с)- время исследования

Результирующими данными в системе уравнений являются ток i и напряжение U.

Для решения ДУ (1) и (2) с помощью функции rkfixed, производим необходимые замены:

A1=uc

A2=iL

Получаем уравнения в форме Коши:

2.4 Графические схемы алгоритмов реализации задачи в MatCAD

Рисунок 2 - Графическая схема алгоритма реализации задачи в MatCAD

Рисунок 3 - Графическая схема алгоритма вычисления программного фрагмента

-     Вводим исходные данные.

-        Записываем систему ДУ и решаем её с помощью функции rkfixed.

         Находим численные значения времени, напряжения, тока в 1000 точках.

         Строим графики зависимости напряжения от времени и тока от времени.

         Изменяем варьируемый параметр ЭДС и выполняем пункты 2,3,4.

         Изменяем варьируемый параметр R и выполняем пункты 2,3,4.

         Полученные графики в пункте 6 соединяем в одном.

         По полученным данным проводим аппроксимацию с помощью функции linfit.

         Строим график аппроксимирующей зависимости.

         Для функции напряжения находим значение времени при котором напряжение пересекает пороговое значение равное 0.1 В при помощи программного фрагмента.

         Строим график зависимости напряжения от времени и выделяем на нем точку пересечения значения напряжения с пороговым значением.

Описание графической схемы алгоритма вычисление программного фрагмента:

Искомый номер переменной в таблице P (Приложение В) обозначим за S и приравняем его к нулю. Номер строки в таблице обозначим за i и приравняем его к единице. Если  больше или равен пороговому значению времени, то искомое S равно номеру строки i, следственно и номеру искомой переменной. Выводим номер переменной в таблице S и его значение.

3. Описание реализации задачи в MathCad

.1 Описание реализации базовой модели

Реализация в MathCad

Вводим исходные данные. Вводим вектора начальных значений A. Создаем вектор D, состоящего из первой производной от уравнений Коши (5) и (6). Решаем полученную систему с помощью функции rkfixed в 1000 точек, в заданном интервале времени от 0 до 0.1 секунд. Получим матрицу B, в которой:

         Первый столбец - вектор значений времени.

         Второй столбец - вектор значений напряжения.

         Третий столбец - вектор значений тока.

Строим графики полученных зависимостей функции напряжения и тока от времени (рисунок A.1, рисунок А.2). Аналогичным способом рассчитываются значения функций тока на катушке индуктивности и напряжения на конденсаторе в заданной электрической схеме с различными значениями ЭДС.

В ходе опытов функция ЭДС принимает значения:

ЭДС1: E(t)=10sin450t;

ЭДС2: E(t)=Asin150t+Bsin(210t)

Рисунок 4 - график зависимости ЭДС 2 от времени, данный в условии

Так как функция E(t) задана графически для начала зададим зависимость. Из рисунка 4 берем координаты функции E(t) и задаем их в MathCAD. После получения результатов строим графики полученных зависимостей функции напряжения и тока от времени (рисунок A.3, рисунок А.4, рисунок А.5, рисунок А.6)

3.2 Описание исследований

.2.1 Реализация в MathCad

Рассчитываем значение функции напряжения при изменении сопротивления в диапазоне значений от 10 до 50 при ЭДС 1. Строится графики всех полученных функций тока от времени на одном поле (Рисунок 5).

В ходе опытов сопротивление R принимает значения:

R=10

R=15

R=20

R=25

R=30

R=35

R=40

R=45

R=50

Рисунок 5 - Сводный график зависимости тока от времени

Вычисляем аналитические аппроксимирующие функции по результатам исследований приложения Б, строим графики исходной и аппроксимирующей зависимости. С помощью функции linfit выполняем аппроксимацию по методу наименьших квадратов. Для этого записываем координаты исходных точек результатов опытов и вектор F содержащий функции в символьном виде. Строим графики исходной и аппроксимирующей зависимости (Рисунок 6).

3.2.2 Реализация в MathCad

Для функции напряжения находим значение времени при котором напряжение пересекает пороговое значение равное 0.1 В при помощи программного фрагмента. Искомый номер переменной в таблице P обозначим за S и приравняем его к нулю. Номер строки в таблице обозначим за i и приравняем его к единице. Если  больше или равен пороговому значению времени, то искомое S равно номеру строки i, следственно и номеру искомой переменной. Выводим номер переменной в таблице S и его значение. Строим график функции зависимости порогового значения напряжения от найденного значения времени.

Методом трассировки выделяем полученную точку (Рисунок 7).

Выводы по результатам исследований

В ходе проведённых опытов было установлено, что при изменении сопротивления R от 10 до 50 Ом амплитуда напряжений уменьшается(Рисунок 6). Значение времени при пороговом значение напряжения u=0.1 В равно 0.25 с. Номер данного элемента в таблице - 125. Пересечение порогового значения и найденного времени показано на рисунке 7.

Рисунок 6 - График аппроксимирующей зависимости

Рисунок 7 - График зависимости напряжения от времени

Заключение

В данной курсовой работе с помощью СКМ была исследована математическая модель электрической цепи. Были рассчитаны функции напряжений и тока, установлено влияние изменения сопротивления на амплитуду тока цепи, вычислены аналитические аппроксимирующие функции зависимости амплитуды напряжений от сопротивления. Было найдено значение времени при достижении напряжением порогового значения.

После проведения расчетов можно с уверенностью сказать, что СКМ действительно намного упрощают студентам жизнь. Да и не только студентам: множество сфер нашей жизни плотно связано с использованием компьютерных расчетов. Со времени ввода СКМ в науку и инженерию в разы сократились затраты по времени на получение точных числовых данных. Проектирование, исследования и вычисления стали намного быстрее, точнее и доступнее.

На данном примере было показано, как легко можно исследовать математическую модель RLC-цепи в системе MathCad.

Список использованных источников

1.       Тарасик В. П. Математическое моделирование технических систем, - Мн.: ДизайнПРО, 1997.- 640с

.        Турчак Л.И. Основы численных методов. - М.: Наука, 1987.

.        Трохова Т. А., Самоведнюк Н. В., Романькова Т. Л. Практическое руководство к курсовому проектированию по курсу "Информатика" для студентов технических специальностей дневной и заочной форм обучения. - Гомель: Учреждение образования "ГГТУ имени П.О.Сухого", 2004. - 34 с.