Курсовая работа (т): Применение систем компьютерного моделирования (СКМ) для исследования математической модели RLC-цепи

Применение систем компьютерного моделирования (СКМ) для исследования математической модели RLC-цепи

Введение

Тема курсовой работы: "Применение СКМ для исследования математической модели RLC-цепи".

Цель работы: изучить применение СКМ для исследования математической модели RLC-цепи.

В ХХI веке компьютерные технологии плотно вошли в жизнь людей. Растущие желания мотивировали человека на создание методов и устройств для упрощения исследований, связи, строительства да и жизни в целом.

На данный момент известно множество случаев, когда техника уже полностью взяла на себя всю нагрузку в расчетах и проектировании, при этом существенно снизив финансовые затраты и использование трудовых ресурсов.

Решение прикладных задач пользователя в той или иной области приложений поддерживают прикладные компьютерные системы специального или общего назначения.

Инженерные задачи чаще всего решаются с использованием систем компьютерной математики. В настоящее время широкое распространение получили следующие математические системы: MathCAD, Matlab, Maple, Mathematica. Последние версии этих систем обладают развитым интерфейсом, языком программирования высокого уровня и возможностью создания документа в мультимедийном оформлении.

Применение системы MathCAD при решении прикладных задач технического характера позволило резко повысить скорость расчетов и уровень сложности задач.

1. Применение системы MathCad для реализации математических моделей электрических схем

.1 Средства математического моделирования

В последнее время в широких кругах пользователей вычислительных машин различного класса стал достаточно популярным и широко используемым термин «компьютерная математика». Данное понятие включает совокупность как теоретических и методических средств, так и современных программных и аппаратных средств, позволяющих производить все математические вычисления с высокой степенью точности и производительности, а также строить сложные цепочки вычислительных алгоритмов с широкими возможностями визуализации процессов и данных при их обработке.

К разработке каждой такой математической системы привлекаются сотни профессионалов из известных университетов и крупных научных центров, а также высококвалифицированные программисты и эксперты в области проектирования сложных программных систем. В результате мы имеем весьма совершенные, гибкие и одновременно универсальные продукты, включающие существенные математические понятия и обладающие богатым набором методов для решения общих математических и научно-технических задач.

.1.1 MATLAB

MATLAB - продукт компании MathWorks, Inc., представляющий собой язык высокого уровня для научно-технических вычислений. Среди основных областей применения MATLAB - математические расчеты, разработка алгоритмов, моделирование, анализ данных и визуализация, научная и инженерная графика, разработка приложений, включая графический интерфейс пользователя. MATLAB решает множество компьютерных задач - от сбора и анализа данных до разработки готовых приложений. Среда MATLAB соединяет в себе математические вычисления, визуализацию и мощный технический язык. Встроенные универсальные интерфейсы позволяют легко работать с внешними информационными источниками, а также осуществлять интеграцию с процедурами, написанными на языках высокого уровня (C, C++, Java и др.). Мультиплатформенность MATLAB сделала его одним из самых распространенных продуктов - он фактически стал принятым во всем мире стандартом технических вычислений. MATLAB имеет широкий спектр применений, в том числе цифровую обработку сигналов и изображений, проектирование систем управления, естественные науки, финансы, экономику, приборостроение и т.п.

1.1.2 MathСad

Это интегрированная среда для выполнения, документирования и обмена результатами технических вычислений от компании MathSoft, Inc. Данный продукт позволяет пользователям вводить, редактировать и решать уравнения, визуализировать результаты, документировать их, а также обмениваться результатами анализа, отслеживая при этом их размерность. Mathсad служит средством вычислений, анализа и написания отчетов для профессионалов во всех областях науки и техники. Продукт прост в использовании и не вызывает проблем при обучении.

.1.3 Maple

Данный продукт компании Waterloo Maple Software, Inc. часто называют системой символьных вычислений или системой компьютерной алгебры. Maple позволяет выполнять как численные, так и аналитические расчеты с возможностью редактирования текста и формул на рабочем листе. Благодаря представлению формул в полиграфическом формате, великолепной двух- и трехмерной графике и анимации Maple является одновременно и мощным научным графическим редактором. Простой и эффективный язык-интерпретатор, открытая архитектура, возможность преобразования кодов Maple в коды C делает его очень эффективным средством создания новых алгоритмов. Обладающий интуитивно понятным интерфейсом, простыми правилами работы и широким функционалом, этот продукт уже завоевал популярность у российских математиков и инженеров.

1.1.4 Mathematica

Система Mathematica - компании Wolfram Research, Inc. имеет чрезвычайно широкий набор средств, переводящих сложные математические алгоритмы в программы. По сути дела, все алгоритмы, содержащиеся в курсе высшей математики технического вуза, заложены в память компьютерной системы Mathematica. В некоторых странах (например, в США) система высшего образования тесно связана с этим продуктом. Огромное преимущество системы Mathematica состоит в том, что ее операторы и способы записи алгоритмов просты и естественны. Mathematica имеет мощный графический пакет, с помощью которого можно строить графики очень сложных функций одной и двух переменных. Главное преимущество Mathmatica, делающее ее бесспорным лидером среди других систем высокого уровня, состоит в том, что эта система получила сегодня очень широкое распространение во всем мире, охватив огромные области применения в научных и инженерных исследованиях, а также в сфере образования.

1.1.5 Macsyma

Macsyma от компании Macsyma, Inc.- это одна из первых математических программ, оперирующих символьной математикой. Сильные стороны Macsyma - развитой аппарат линейной алгебры и дифференциальных уравнений. Система ориентирована на прикладные расчеты и не предназначена для теоретических исследований в области математики. В связи с этим в программе отсутствуют или сокращены разделы, связанные с теоретическими методами (теория чисел, теория групп, и др.). Пожалуй, главным преимуществом Macsyma перед другими универсальными математическими пакетами является то, что пользователь может аналитически и численно решать большое количество различных типов уравнений в частных производных. Macsyma имеет очень удобный интерфейс. Рабочим документом программы является научная тетрадь, в которой содержатся доступные для редактирования поля текста, команд, формул и графиков. Отличительной особенностью пакета является совместимость с текстовым редактором Microsoft Word. Почти все команды Macsyma в библиотечных файлах загружаются автоматически; очень удобно и окно просмотра (браузер) математических функций. Macsyma генерирует коды FORTRANа и C, включая управляющие операторы. Система работает на платформе Intel под управлением OS Windows.

1.1.6 MuPAD

В сравнении с другими математическими пакетами MuPAD - продукт компании SciFace GmbH- является относительно молодым продуктом, однако это не мешает ему уверенно конкурировать с ними. MuPAD является программным пакетом компьютерной алгебры, предназначенным для решения математических задач различного уровня сложности. Основные качественные отличия MuPAD - невысокие требования к ресурсам PC, наличие собственного ядра символьной математики, способность к развитию самим пользователем и мощные средства визуализации решения математических задач. Пакет поддерживает большой набор математических объектов и алгоритмов для самого широкого круга задач. Работа пользователя проходит в окне блокнота, позволяющего перемежать текст с математическими формулами, форматированным текстом и выводом решений, включая двух- и трехмерную графику. Для разработки собственных алгоритмов и функций на базе библиотеки функций MuPAD в системе предусмотрены специальный паскалеподобный язык программирования и интерактивный пошаговый отладчик. Созданные пользователем алгоритмы могут объединяться в отдельные библиотеки.

.1.7 S-PLUSPLUS - продукт компании Insightful Corporation, ранее известной как подразделение MathSoft, а теперь являющейся одним из мировых лидеров в области статистического анализа данных, визуализации и прогнозирования. S-PLUS представляет собой интерактивную компьютерную среду, обеспечивающую полнофункциональный графический анализ данных и включающую оригинальный объектно-ориентированный язык. Гибкая система S-PLUS может использоваться для исследовательского анализа данных, статистического анализа и математических вычислений, а также для удобного графического представления анализируемых данных. К основным достоинствам S-PLUS относятся непревзойденная функциональность, возможность интерактивного визуального анализа данных, интуитивно понятные интерфейс пользователя и методы подготовки анализируемых данных, простота использования самых современных статистических методов, мощные вычислительные возможности, расширяемый набор статистических методов, гибкий интерфейс пользователя.

.2 Система MathCad, основные функции

является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчеты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов. Пользователи MathCAD - это студенты, ученые, инженеры, разнообразные технические специалисты. Благодаря простоте применения, наглядности математических действий, обширной библиотеке встроенных функций и численных методов, возможности символьных вычислений, а также представления результатов (графики самых разных типов, мощных средств подготовки печатных документов и Web-страниц), MathCAD стал наиболее популярным математическим приложением, так как он очень прост в использовании, в частности, из-за отсутствия необходимости сначала писать программу, реализующую те или иные математические расчеты, а потом запускать ее на исполнение. Вместо этого достаточно просто вводить математические выражения с помощью встроенного редактора формул, причем в виде, максимально приближенном к общепринятому, и тут же получать результат.

Все функции системы можно классифицировать следующим образом:

a) Вычислительные функции;

б) Графические функции;

в) Программирование;

г) Сервисные функции;

Вычислительные возможности системы применяются для решения множества задач из области математики, физики, экономики, инженерных расчётов, научных исследований. К основным вычислительным функциям можно отнести следующие:

а) Вычисление арифметических выражений с различной точностью.

б) Вычисление производных (обычных и частных), интегралов (обычных, многомерных и контурных).

в) Вычисление сумм и произведения.

г) Выполнение операций с размерными величинами и переменными.

д) Решение уравнений, неравенств и их систем.

е) Решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

ж) Обработка матриц, векторов и ранжированных переменных.

и) Использование встроенных математических функций.

к) Создание пользовательских функций.

л) Использование символьных преобразований и вычислений.

Графические возможности системы применяются для визуализации результатов вычислений и включают построение двумерных графиков в различных системах координат, создание графиков поверхностей, карт линий уровня, трехмерных гистограмм, точечных графиков и графиков векторных полей. Система позволяет продемонстрировать процесс движения или изменения каких-либо результатов в виде анимационного клипа.

Система позволяет создавать программы, представляющие собой выражения, состоящие из программных конструкций, подобных конструкциям языков программирования. Программные выражения позволяют успешно решать в системе те задачи, которые невозможно вычислить с помощью имеющихся встроенных функций.

Простейшие действия демонстрируют использование MathCAD в качестве обычного калькулятора с расширенным набором функций. Для математика же интерес представляет, как минимум, возможность задания переменных и операций с функциями пользователя. Нет ничего проще - в MathCAD действия, как и большинство других, реализованы по принципу "как принято в математике, так и вводится".

Вычислительный эксперимент позволяет заменить дорогостоящий натурный эксперимент расчетами на ЭВМ. Он позволяет в короткие сроки и без значительных материальных затрат осуществить исследование большого числа вариантов проектируемого объекта или процесса для различных режимов его эксплуатации, что значительно сокращает сроки разработки сложных систем и их внедрение в производство. В заключение подчеркнем еще раз, что компьютерное моделирование и вычислительный эксперимент позволяют свести исследование "нематематического" объекта к решению математической задачи. Этим самым открывается возможность использования для его изучения хорошо разработанного математического аппарата в сочетании с мощной вычислительной техникой. На этом основано применение математики и ЭВМ для познания законов реального мира и их использования на практике.[2]

1.3     Обзор численных методов. Решение дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения, которые можно проинтегрировать известными методами, встречаются сравнительно редко. В связи с этим особое значение приобретают приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Эти методы делятся на две группы. Применение аналитических методов дает приближенное решение в виде аналитического выражения, численных- в виде таблицы численных значений.

Наиболее распространенными из численных методов, применяемых в математическом моделировании, являются метод Эйлера и метод Рунге-Кутта.

математический моделирование mathcad электрический

1.3.1 Метод Эйлера

Метод Эйлера основан на непосредственной замене производной разностным отношением по приближенной формуле. По методу Эйлера в формуле Тейлора не учитываются члены, содержащие производные второго и более высокого порядка. Метод Эйлера имеет первый порядок точности, откуда следует, что для достижения высокой точности требуется мелкий шаг, что экономически не выгодно. Достоинством метода является его простота. Метод Эйлера используют для более точных многошаговых методов.

Пусть требуется решить задачу Коши: найти решение дифференциального уравнения

у'=(х, у)                                                                                           (1)

удовлетворяющее условию

у=у0 при х=х0, т. е. у(ха) =у0                                                                  (2)

При численном решении уравнения (1.1) задача ставится так: точках х0, x1, х2, ..., хп найти приближения уп для значений точного решения у(хп). Разность x=xn+1-xn = h называется шагом сетки. Во многих случаях принимают величину h постоянной, тогда

Хn=Х0=nh(n=0,1,2,…)                                                                    (3)

Приближенно можно считать, что правая часть уравнения (1.1) остается постоянной на каждом из отрезков между точками деления

Метод Эйлера состоит в непосредственной замене производной разностным отношением по приближенной формуле

                                                                                (4)

В силу сделанных предположений на первом отрезке искомое решение приближенно представляется линейной функцией

           (5)

в частности, при x=x1 получаем y1=y0+ht(x0, y0). Равенство (1.4) означает, что на отрезке [х0, xo+h] искомую интегральную кривую у=у(х) приближенно заменяют прямолинейным отрезком, выходящим из начальной точки М0(х0, у0) с угловым коэффициентом f(xQ, у0). Аналогично находим приближенное значение y2: y2 = y1+hf(x1,y1).

Для точки xn = xo+nh получаем

                                    (6)

Таким образом, в качестве приближения искомой интегральной кривой получаем линию с вершинами в точках М0(х0, уо), M1(y1, y2), .... Мп(хп, уп)